20212022学年高中数学第三章变化率与导数34导数的四则运算法则训练含解析北师大版选修1

§4导数的四则运算法则A组1.若f(x)=1x3x2,则f'(-1)=()A.52B.-52C.53D.-53解析:因为f(x)=x-53,所以f'(x)=-53x-83,所以f'(-1)=-53×(-1)-83=-53.答案:D2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是()A.193B.163C.133D.103解析:因为f'(x)=3ax2+6x,所以f'(-1)=3a-6,所以3a-6=4,故a=103.答案:D3.已知点P在曲线y=2sinx2cosx2上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A.34,B.-4,34C.4,34D.0,434,解析:y=2sinx2cosx2=sinx,y'=cosx.设P(x0,y0),由题意,知切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率为tan=cosx0,-1tan1.0<,0,434,故选D.答案:D4.若函数f(x)=f'(1)x3-2x2+3,则f'(1)的值为()A.0B.-1C.1D.2解析:因为f(x)=f'(1)x3-2x2+3,所以f'(x)=3f'(1)x2-4x,所以f'(1)=3f'(1)-4,所以f'(1)=2.答案:D5.已知点P在曲线y=4ex+1上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是. 解析:y=4ex+1,y'=-4ex(ex+1)2<0.-4ex(ex+1)2=-4exe2x+2ex+1=-4ex+1ex+2-42+2=-1,当且仅当x=0时取等号,-1y'<0.-1tan<0,即34<.答案:34,6.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为. 解析:由y=xx+2,得y'=2(x+2)2,所以所求切线的斜率为2,故所求切线方程为y-(-1)=2(x+1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=07.若f(x)=cos2x2-sin2x2+tan133,则f'6=. 解析:f(x)=cosx+3,f'(x)=-sinx,f'6=-sin6=-12.答案:-128.求下列函数的导数.(1)y=xcos x-sin x;(2)y=x-sinx2cosx2;(3)y=11-x+11+x.解(1)y=xcosx-sinx,y'=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.(2)y=x-sinx2cosx2=x-12sinx,y'=x-12sinx'=x'-12(sinx)'=1-12cosx.(3)y=11-x+11+x=(1+x)+(1-x)(1-x)(1+x)=21-x,y'=21-x'=2(1-x)2.9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f'(x)的图像如图所示,求f(x)的解析式.解f'(x)=3ax2+2bx+c,且f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,3a+2b+c=0,12a+4b+c=0,a+b+c=5,解得a=2,b=-9,c=12.函数y=f(x)的解析式为f(x)=2x3-9x2+12x.B组1.已知f(x)=x-5+3sin x,则f'(x)等于()A.-5x-6-3cos xB.x-6+3cos xC.-5x-6+3cos xD.x-6-3cos x解析:y'=-5x-6+3cosx.答案:C2.函数f(x)=xxx的导数是()A.18x(x>0)B.-788xC.788xD.-188x解析:f(x)=xxx=xx32=x·x34=x74=x78,f'(x)=78·x-18.答案:C3.函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+ln x,则f'(e)等于()A.e-1B.-1C.-e-1D.-e解析:f(x)=2xf'(e)+lnx,f'(x)=2f'(e)+1x,f'(e)=2f'(e)+1e,解得f'(e)=-1e,故选C.答案:C4.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=. 解析:f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,f(0)=a=g(0)=1,且f'(0)=0=g'(0)=b,a+b=1.答案:15.导学号已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为. 解析:函数f(x)的导数f'(x)=3x2-a.过直线外A(1,0)作曲线C的切线.设切点(x0,f(x0),则切线方程为y=(3x02-a)(x-1),将(x0,f(x0)代入得f(x0)=x03-ax0+a,即2x03-3x02=0,解得x0=0或x0=32.故满足条件的切线有两条,且它们的斜率分别为-a与274-a.因为两条切线的倾斜角互补,所以-a+274-a=0,故a=278.答案:2786.求下列函数的导数.(1)y=1+x1-x+1-x1+x;(2)y=-sinx21-2sin2x4.解(1)y=(1+x)21-x+(1-x)21-x=2(1+x)1-x=41-x-2,y'=41-x-2'=4(1-x)2.(2)y=-sinx2·cosx2=-12sinx,y'=-12sinx'=-12cosx.7.导学号已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解(1)f'(x)=3x2+1,f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.切线的方程为13x-y-32=0.(2)解法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=3x02+1,直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,又直线l过原点(0,0),0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,x0=-2,y0=-26,k=13.直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).解法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k=y0-0x0-0=x03+x0-16x0,又k=f'(x0)=3x02+1,x03+x0-16x0=3x02+1,解得x0=-2,y0=-26,k=13.直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)切线与直线y=-x4+3垂直,切线的斜率k=4.设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=4,x0=±1,x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4x-18或y=4x-14,即4x-y-18=0或4x-y-14=0.