一元微积分学PPT标准课件-35-第35讲一阶微分方程.ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十讲 一元微积分的应用(六),脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中, 微积分在物理中的应用,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,第二节 一阶微分方程,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,一、变量可分离方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为变量可分离的方程。,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：,其中C 为积分后出现的任意常数。,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,解,对上式两边积分，得原方程的通解,隐函数形式,经初等运算可得到原方程的通解为,你认为做完了没有？,原方程的解为,解,两边同时积分，得,故所求通解为,你认为还需要讨论吗？为什么？,解,原方程即,两边积分，得,故通解为,曲线族的包络。,二、齐次方程,变量代换,代入原方程，得,解,于是，原方程化为,两边积分，得,即,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,解,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,两边积分，得,即,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,四、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。,方程称为一阶齐线性方程。,方程称为一阶非齐线性方程。,习惯上，称,为方程,所对应的齐方程。,一阶齐线性方程的解,运用分离变量法，得,两边积分，得,故,的解存在，且唯一，其通解为,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式！,解,先求此一阶齐线性方程的通解：,故该初值问题的解为,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,一阶非齐线性方程的解,比较两个方程：,请问，你有什么想法？,请问，你有什么想法？,行吗 ?!,故,即,上式两边积分，求出待定函数,解,所以，方程的通解为,解,原方程可以改写为,这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中,故原方程的通解为,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,五、伯努利方程,形如,的方程称为伯努利方程。,代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程,于是，原方程的通解为,解,故,从而，原方程的通解为,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,解,原方程即,于是，原方程化为,运用分离变量法，解得,故原方程的通解为,