谈函数的不动点与数列的单调性

谈函数的不动点与数列的单调性江苏省灌云高级中学 翟洪亮 222200若函数的定义域为，且满足，我们则称为函数的不动点.若数列满足，则把函数称为数列的特征函数.若要考查数列的单调性，一般是通过比较相邻两项与的大小，也可以利用函数思想，由特征函数，转化为比较自变量与其对应函数值的大小，由不等考虑相等的界限，从而研究特征函数与函数的交点情况，即通过特征函数“不动点”的分界作用去考查数列的单调性问题，而考查数列的单调性问题在近年的高考试卷中常以压轴题频繁出现，本文根据特征函数的不同类型对不动点与数列单调性的界定关系作探讨，总结如下以飨读者.一、特征函数形如例1.（2009年陕西高考理科试卷22题） 已知数列满足， ，猜想数列的单调性，并证明你的结论；()证明：.解析：参考解答是用数学归纳法来证明的，而当时，无单调性可言.下用不动点方法来研究，由递推关系得特征函数，再由其特征方程得不动点，当时，则;当时，则.又因为，所以，而，同理，所以当时，数列是单调递减，而数列是单调递增.()因为 ，所以，所以，而，所以.评注：由于本题特征函数在上是单调递减，特征方程在上的不动点只有一个.当时，数列是单调递增，而数列是单调递减（如图1）；当时，数列是常数列；当时，数列是单调递减，而数列是单调递增.不动点是数列的极限，如2004年湖北高考理科试卷22题，已知，数列满足n=1，2，.（）已知数列极限存在且大于零，求A=(将A用表示)；（）、（）略.当首项的值不确定时，需要根据首项的范围进行讨论，如：例2.（2005年福建高考理科试卷22题）已知数列满足 ，我们知道当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：（）、（）略（）若，求a的取值范围.解析：由递推关系得特征函数，再由特征方程得不动点，因为，并且当时，则;当时，则.所以当时，所以，而，图2，同理，所以当时，数列是单调递减，而数列是单调递增（如图2）.图3同理当时， ，而，数列是单调递增，而数列是单调递减（如图3）.当时，数列为常数列；所以，当时，若，则，即，解得；当时，数列为常数列满足要求；当时，若，则，即，解得.综上可得，若， a的取值范围为.二、特征函数形如例3.（2005年江西高考理科试卷21题）已知数列各项为正数，且满足，.（1）求证：； （2）略.解析：由递推关系得特征函数，由特征方程得不动点，.当时，则，而，即，又因为，所以当时，.评注：本题的特征方程有两个大于等于零的图4不动点、，并且特征函数在上单调递增，其图像在图像的上方，当时，数列是单调递增（如图4）,并且；当或时，数列是常数列；当时，数列是不具有单调性.若特征函数为开口向上的二次函数，数列的单调性怎样呢？例4.（2009年安徽高考理科试卷21题）首项为正数的数列满足（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围.解析：（I）略；（II）由递推关系得特征函数，由其特征方程得不动点，当时，则，而，所以当时，;当时， =1;当时，则，而，所以当时，;当时， ;当时，则，而，所以当时，;综上可得，对一切都有，求的取值范围是或.图5评注：若对应的特征方程的不动点中大于零的不动点有两个、.并且特征函数在上单调递增，图像在的下方.当时，数列是单调递减（如图3），并且；当时，数列是单调递增, 并且；当或时，数列是常数列；当时，数列是单调递增,数列的极限不存在.三、特征函数形如例5.（2007四川高考理科试卷21题）已知，设曲线在点处的切线 与轴的交点为,其中为正实数.（）用表示；（）对一切正整数，的充要条件是；（）略解析：（）（略解）易得 ；（）证明：（必要性）若对一切正整数，则，即，而，即有；（充分性）的特征方程的不动点，.若，由可得数列为常数列；若，由易得，若，从而，即；又 ，于是，即；综上可得，当时，对一切正整数成立.图6评注：一般地特征函数形如取得极值时的值与不动点的关系如下：当时，点，当时，特征函数的图像在的下方，数列是单调递减（图6），并且；当时，数列是常数列；当时，数列是不具有单调性.当时，点，当图7时，特征函数的图像在的下方，数列是单调递减，并且；当时，数列是常数列；当时，数列是单调递增，并且；当时，数列是不具有单调性（图7）.当时，当时，数列是常数列；时，数列是不具有单调性，但是. 附：翟洪亮的电子邮箱:hooh2002 手机:13812432286