2022年高考数学一轮总复习 6.7数学归纳法练习

2022年高考数学一轮总复习 6.7数学归纳法练习一、选择题1已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)解析总项数为n2n1，f(2).故选D.答案D2用数学归纳法证明不等式1>(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10解析1>，整理得2n>128，解得n>7.初始值至少应取8.答案B3用数学归纳法证明等式135(2n1)(n1)2(nN*)的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A135(2k1)k2B135(2k3)(k2)2C135(2k1)(k2)2D135(2k3)(k3)2解析当nk1时，等式左边135(2k1)(2k3)(k1)2(2k3)(k2)2.答案B4某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立现已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()A当n6时，该命题不成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n4时，该命题成立解析因为当nk时命题成立可推出nk1时成立，所以n5时命题不成立，则n4时命题也一定不成立答案C5在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C.D.解析由a1，Snn(2n1)an，得S22(2×21)a2，即a1a26a2.a2，S33(2×31)a3，即a315a3.a3，同理可得a4.答案C6下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A66·7k B27k1C2(27k1) D3(27k)解析(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任意kN*都成立故选D.答案D二、填空题7用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真解析n为正奇数，假设n2k1成立后，需证明的应为n2k1时成立答案2k18若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系是_解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)29在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和)，则S2，S3，S4分别为_，由此猜想Sn_.解析由Sn，Sn1,2S1成等差数列，得2Sn1Sn2S1，S1a11，2Sn1Sn2.令n1，则2S2S12123，S2.同理，分别令n2，n3，可求得S3，S4.由S11，S2，S3，S4，猜想Sn.答案，三、解答题10用数学归纳法证明：123252(2n1)2n(4n21)证明(1)当n1时，左边121，右边×1×(41)1，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)则当nk1时，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2k(4k21)4k24k1k4(k1)21k·4(2k1)4k24k1k4(k1)21(12k212k38k24k)k4(k1)214(k1)21(k1)4(k1)21即当nk1时等式也成立由(1)，(2)可知，对一切nN*，等式都成立11数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解(1)当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S22×2a2，a2.当n3时，a1a2a3S32×3a3，a3.当n4时，a1a2a3a4S42×4a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11，结论成立假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1(k1且kN*)时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak2.ak1，由可知，对nN*，an都成立 1对于不等式<n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，<11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即<k1，则当nk1时，<(k1)1，所以当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没用nk时的假设，不是数学归纳法从nk到nk1的推理不正确答案D2用数学归纳法证明34n152n1(nN*)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A56·34k125(34k152k1)B34·34k152·52kC34k152k1D25(34k152k1)解析34(k1)152(k1)134·34k152·52k1(5625)·34k152·52k156·34k125(34k152k1)答案A3设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_.(n1，n是自然数)解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案4n2n24(xx·陕西卷)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围解由题设得，g(x)(x0)(1)由已知得，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x).下面用数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x).即结论成立由可知，结论对nN*成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立设(x)ln(1x)(x0)，即(x)，当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增，又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1时，ln(1x)恒成立(仅当x0时等号成立)当a>1时，对x(0，a1有(x)<0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)<(0)0.即a>1时，存在x>0，使(x)<0，故知ln(1x)不恒成立，综上可知，a的取值范围是(，1