第18章 勾股定理[4]

第18章 勾股定理§18.2 勾股定理的逆定理怀宁县江镇初级中学 江涛一、教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理的逆定理的探究方法。2. 熟记一些常用的勾股数。3. 会运用勾股定理逆定理去证明直角三角形。过程与方法：通过作图以及理论证明的方法，增加学生对勾股定理逆定理的理解，培养学生从实际问题抽象出数学问题的能力。情感、态度与价值观：1.通过介绍数学历史资料，激发学生解决问题的好奇心。2.通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神。二、教学重难点重点：能利用勾股定理的逆定理判定直角三角形。难点：勾股定理逆定理的应用。三、教学准备多媒体PPT课件、几何作图工具（圆规、三角板）四、教学过程（一）复习引入教师提问以下问题，随机找学生回答。问题1 勾股定理的内容是什么?问题2 已知直角三角形两条直角边的长分别为a、b，求斜边c的长： a3，b4； c? a5，b12；c?思考1 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，那么现在我们能否通过边来确定直角三角形呢？（二）情境引入同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.图1思考2 古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5，如图1所示,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?量一量，画一画利用长度分别为3、4、5的三条线段画ABC，使得BC=3，AC=4，AB=5，并测量C的度数。 图2（三）讲授新课下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？图3下面有2组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ 5,12,13满足52+122=132, 7,24,25满足72+242=252, a2+b2=c2问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？由上面几个例子，同学们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。证一证:在ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判断 ABC是直角三角形？并说明理由.图4证明：作一个直角MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,连接A1B1，如图4所示。则： A1B12= B1C12+A1C12 =a2+b2=AB2 . a2+b2=c2 A1B12=c2 A1B1=cABC与A1B1C1中，AB=A1B1，BC=B1C1， AC=A1C1， ABC A1B1C1 . （SSS） C=C1=90°， ABC是直角三角形.（四）归纳总结勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即：如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形）。（五）例题分析例1下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1) a=15 ， b=8 ，c=17;(2) a=13 ，b=14 ，c=15.解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.(2)132+142=365，152=225，132+142152，不符合勾股定理的逆定理， 这个三角形不是直角三角形.注：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数（能够成为直角三角形三边长度的三个正整数，成为勾股数）。勾股数性质：勾股数的倍数 (倍数为正整数)仍是勾股数。例2 已知ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解： AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 又 AC² =(n²+1)² =n4 +2n²+1 AB²+BC² = AC² ，ABC直角三角形，最大边AC所对的角是直角.（六）习题巩固1.下列各组数是勾股数的是( C ) A.0.9，1.2，1.5 B.7，8，9 C.9，40，41 D.32，42，522.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( B )A. 可能是锐角三角形 B.是直角三角形C. 可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形3.已知a、b、c是ABC三边的长，且满足关系式，则ABC的形状是等腰直角三角形。4.若ABC的三边a,b,c，且a+b=4, ab=1,c= ，证明ABC是直角三角形.证： a+b=4,ab=1, a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又 c2=14, a2+b2=c2, ABC是直角三角形.5.如图，有一块空白地，如图5所示，已知ADC90°，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。 图5 图6解：连接AC，如图6所示：在直角ACD中， AC2= AD2+ CD2=82+62=100 AC=10m .在ABC中， AC2+ BC2=102+242=676，AB2=262=676 AC2+ BC2= AB2 ABC是直角三角形，S四边形ABCD=AC. BC-AD. CD =×10×24-×8×6=96（m2）6.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CECB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由第4题图解：AFEF.理由如下：设正方形的边长为4a, 则CEa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90°，即AFEF.（七）课堂小结1.勾股定理的逆定理内容（师生共同回忆）2.勾股数的概念（八）作业布置名师测控P45-P46（九）教学反思本节课采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学实验，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养。