自动控制理论第四章答案解析

(d)题4-2解：由开环传递函数容易得到n = 3,m = 0 ,三个极点分别为P1=0,P2 =-4 + 2 j，P- =-4 一 2 j，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为(2 k + 1)k兀0 = _3二5兀3,兀，二厂，渐近线与实轴交点为33aE (-P )-工(-L )Qli 8l=t=en m3下面确定根轨迹的分离点和汇合点D( s) = s(0.05s 2 + 0.4s +1) + K0 = 0n 虬=0.15s 2 0.8s 1 = 0 dsc 10n s = 2,s = 3-计算根轨迹的出射角与入射角2、兀0=兀一（兀一 arctan（4） = 63.40 3 = 0 2 = 63.4确定根轨迹与虚轴的交点令 s =沁,特征方程3) = jw(-0.05w 2 + 0.4 沁 +1) + K 0 = 0=0.42 + K0 = 0 =卜=0 或 -0.053 + w = 0 K 0 = 0 K 0 = 8-2-3-4-5b-1=±2 v'5题4-5解：由开环传递函数容易得到n = 3, m =。，三个极点分别为-P= 0,-P2 =-2，-3=-4，因(2 k + 1)k兀 5兀 此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为° =3 = §，兀，亍，渐近线与实轴£ (-P )-2 (-L )、/i交点为-b = 4i= -2。a n - m下面确定根轨迹的分离点和汇合点D( s) = s( s + 2)(s + 4) + K 0 = 0=虬= -3s2 - 12s - 8 = 0ds、 c , 2"c 2 V3仝 士、=s = -2 +, s = -2 (舍去)1323确定根轨迹与虚轴的交点令 s = j®,特征方程( s) = jw( jw + 2)( jw + 4) + K = 0J-62 + K = 0Jw = 0 或w = ±/2-W3 + 8w = 0 K 0 = 0 K = 48-3$ -4(2)要产生阻尼振荡，需要b< 0且。0。日寸，K0=3.08，所以，当匚=0.5 n arccos p = 0.5nP=±60过s平面原点，与实轴负方向夹角为±60作射线，与根轨迹交点即为主导极点。由图知，主导极点为一0.7± jl.2。又3.1 < K0 v 48时，系统呈阻尼振荡。当K0 = 48日寸，系统产生持续等幅振荡，Pcln Pc3由开环传递函数容易得到n = 3,m = 1二个极点和一个零点分别为+ p + p = p + p + p = -6=-4.6-4.6*( -4.6 + 2)*( -4.6 + 4) + K = 0 所以n K0 = 7.1760题4-6解：P1=0, L1, P3=3, 丁-2，因此，有2条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为(2 k + 1)k 兀 3兀E (-p)-工(-Q 1=1i=1= -1n - m0=,；-，渐近线与实轴交点为 f a下面确定根轨迹的分离点和汇合点D(s) = s(s + 1)(s + 3) + K (s + 2) = 0 n (s + 1)(s + 2)2 = 1 n s 牝-0.55加1-2-3-4-55432b-5 -4 -3 -2 -'-1匚=0.5 n arccos p = 0.5np=±6°过T面原点，与实轴负方向夹角为±6。作射线，与根轨迹的p + p + p = p + p + p = -4 交点即为主导极点。由图知，主导极点为一0.7 ± j1.1。又clC2;3123n p = -2.6c 3-2.6*( -2.6 +1)*(-2.6 + 3) + K (-2.6 + 2) = 0所以0n K = 2.77题4-9解：系统的s 3 + s 2 + 2.5s + Ts 2 + Ts = 0闭环传递函数 T (s +1) 八 ，等效开环传递函数为 n 1 + =0s2 + s + 2.5Gi(s)=T (s +1)s 2 + s + 2.5由等效开环传递函数容易得到n = 2, m = 1，两个极点和一个零点分别为-1 + j 3-1 j3p1=,p2 =，丁-1，因此，有1条根轨迹趋于无穷远其渐近线倾角为八(2 k + 50 = 一=兀。下面确定根轨迹的分离点和汇合点D( s) = s 2 + s + 2.5 + T (s +1) = 0dKn o = 0 n s 2 + 2s 1.5 = 0 ds1010 zn s1 = 1 , s2 = 1 + 二(舍去)计算根轨迹的出射角与入射角c兀0 =兀+ arctan 3 = 161.6o解:0 =0 =161.6由开环传递函数容易得到n = 3,m = 0，三个极点分别为P1 =七=P3 =-2，因此，有3条(2 k + 1)k兀5兀 根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为0 =3= y,兀，_y，渐近线与实轴交点为E (-P )-工(-L ) iic = -i=1i=1= 2。a n m下面确定根轨迹的分离点和汇合点D( s) = (s + 2)3 + K = 0dKn 0 = 3(s + 2)2 = 0dsn s = s = 2确定根轨迹与虚轴的交点令 s = jw,特征方程 D (s) = j + 2)3 + K 0 = 0=±2寸3K0= 64.=2/3令s =冷n< 一K0 = 64匚=0.5 n arccos p = 0.5o 八过s平面原点，与实轴负方向夹角为±60作射线，与根轨迹的交n p = ±60cln P 3c3p + p + p = p + p + p = -6 点即为主导极点。由图知，主导极点为-1土 j、/3。又c1c2C3123=-4所以(4 + 2)3 + K0= 0°、8K = lim G (s) H (s) = lim 8 = 1P ST0ST0 (S + 2)3(3)系统的闭环传递函数可以近似为C(s) _8_8R(s)(s - p )(s - p ) s2 + 2s + 4J 23 = 2 伊=2a 扁 2 = 4"匚"=0.5n-a M = e 1Y2 x 100% = 16.3%兀兀_ a t = =,= 1.8138sPi：'1匚23a A = 5% t w=3sn4A = 2% t 机=4sn