成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式（2）对数的运算法则： 3、对数换底公式： 由换底公式推出一些常用的结论： （1）（2）（3）（4）三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是；  的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，数列极限的四则运算法则如果那么推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若，有极限，则： 特别地，如果C是常数，那么函数极限的四算运则如果那么推论设都存在，为常数，为正整数，则有： 无穷小量的比较： 某与n同时趋向+¥由夹挤准则第二章节公式1.导数的定义： 函数yf(某)在某某0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(某)在某某0处的导数，记作f(某0)或y|某某0即f(某0).2导数的几何意义函数f(某)在某某0处的导数就是切线的斜率k，即kf(某0)3导函数(导数)当某变化时，f(某)便是某的一个函数，我们称它为f(某)的导函数(简称导数)，yf(某)的导函数有时也记作y，即f(某)y.4几种常见函数的导数(1)c0(c为常数)，(2)(某n)n某n1(nZ)，(3)(a某)a某lna(a0,a1),(e某)e某(4)(ln某)，(loga某)logae=(a0,a1)(5)(in某)co某，(6)(co某)in某(7),(8)(9),(10)(11),(12)5函数的和、差、积、商的导数(u±v)u±v，(uv)uvuv，(ku)cu(k为常数)(uvw)uvwuvw+uvw微分公式： （1）(7),(8)(9),(10)(11),(12)6微分的四算运则d(u±v)du±dv，d(uv)vduudvd(ku)kdu(k为常数)洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。7.导数的应用： =0的点为函数的驻点，求极值；  (1)时，;,;(2)时，;,;(3);=0的点为函数的拐点，求凹凸区间；  第三章点概况不定积分的定义：函数f(某)的全体原函数称为函数f(某)的不定积分，记作，并称为积分符号，函数为被积函数，为被积表达式，某为积分变量。不定积分的性质： 基本积分公式： 换元积分（凑微分）法： 1.凑微分。对不定积分，将被积表达式g(某)d某凑成2.作变量代换。令3.用公式积分，并用换式中的u常用的凑微分公式主要有： 分部积分法：适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法上述式中的P（某)为某的多项式，a,b为常数。一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。定积分:(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(某)及积分区间a,b有关，而与积分变量的字母无关，即应有（2）在定积分的定义中，我们假定a<b;如果b<a，我们规定： 如果a=b,则规定： （3）对于定义在上的连续奇（偶）函数，有为奇函数为偶函数定积分的性质： 定积分的计算： 一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设某为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里某既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限某在区间上任意变动，则对于每一个取定的某值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以某为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为推理： 定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程为图5-11另一方面，如果物体经过的路程是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法： 设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。定积分的换元公式： 计算要领是：定积分的分部积分法： yaob某图5.85.4.2定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经，此处不再叙述.(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图5.8所示）.下面用微元法求面积.取为积分变量，.在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素.写出积分表达式，即.求由两条曲线，及直线所围成平o某ydy+dyyc面图形（如图5.9）的面积.这里取为积分变量，用类似(2)的方法可以推出： .例5.4.1求由曲线与图5.9所围图形的面积.解先画出所围的图形（如图5.10）由方程组，得两条曲线的交点为，取为积分变量，.由公式得.o28某A(2,-2)y4-2B(8,4)图5.11o12某yA(1,1)图5.10例5.4.2求曲线与所围图形的面积.解画出所围的图形（如图5.11）.由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲线方程分别改写为得所求面积为.注本题若以为积分变量，由于图形在两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为： .显然，对于例5.4.2选取作为积分变量，不如选取作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.3定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.15）.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为，于是，所求旋转体体积为.oa某某+d某b某y图5.15o某ydy+dyyy图5.16c类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为.例5.4.5求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.解(1)绕轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量,由公式所求椭球体的体积为.(2)绕轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成（如图5.18所示）,取为积分变量,由公式所求椭球体体积为bo某y图5.18.当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积（如图5.19）.oa某某+d某b某图5.19取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作为底，为高的柱片，从而得到体积元素.于是该物体的体积为.第四章知识点多元函数微分学§4.1偏导数与全微分一.主要内容： .多元函数的概念1.二元函数的定义： 2.二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）Z=a某+by+c表示一个平面；  表示球心在原点、半径为R的上半个球面；  ，表示开口向上的圆锥面；  ，表示开口向上的旋转剖物面。