2016年数学三真题及解析

版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 401228281401228281120162016 全国研究生入学考试考研数学（数学三）解析全国研究生入学考试考研数学（数学三）解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一一、选择题选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.（1 1）设 函 数()yf x在-+，内 连 续，其 导 数 的 图 像，如 图 所 示，则（A）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点（B）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 3 个拐点（C）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 1 个拐点（D）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点【答案答案】：（：（B B）【解析【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点.（2 2）已知函数,xef x yxy，则（A）0 xyff（B）+0 xyff（C）xyfff（D）xyfff【答案】：【答案】：（D）【解析】【解析】22,xxxxyxyeeefffffxyxyxy.版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282812（3 3）设3=1,2,3,iiDJxydxdy i其中2123,|01,01,=,|01,0,|01,1Dx yxyDx yxyxDx yxxy，（A）123JJJ（B）312JJJ（C）231JJJ（D）213JJJ【答案】：【答案】：（B）【解析】【解析】123DDD，如图易知在12DD中30 xy，在13DD中30 xy，可知1213JJJJ，故选 B（4 4）级数111sin1nnknn，k为常数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与k有关【答案】【答案】：（A）【解析】【解析】321111111sin=111112nnnknnnnn nn nnnn 由于级数31212nn是收敛的，故原级数绝对收敛.（5 5）设,A B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）ATA与TB相似 B1A与1B相似 CTAA与TBB相似 D1AA与1BB相似【答案答案】：C【解析】：【解析】：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得1,P APB两端取转置与逆可得：1TTTTP APB,111P A PB,111PAAPBB,可知 A、B、D均正确，故版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282813选择 C。（6 6）设二次型222123123122313,222fx xxa xxxx xx xx x的正负惯性指数分别为1,2，则（A）1a（B）2a （C）-21a（D）12aa 或【答案】【答案】（C）【解析】【解析】二次型矩阵为111111aaa，其特征值为1,1,2aaa，可知10,20aa，即21a，故选择（C）（7 7）设,A B为两个随机事件，且0()1,0()1P AP B,如果|1P A B,则（A）|1P B A（B）|0P A B（C）0P AB（D）|1P B A【答案】：【答案】：（A）【解析】【解析】|1P ABP A BP B,可知 ,0P ABP BP ABP BP AB可知|=1P BAP AP ABP B AP AP A（8 8）设随机变量X与Y相互独立，且12,1XNYN，4,则D XY（A）6（B）8（C）14（D）15【答案答案】：（C）【解析】【解析】222D XYEX YEXY，22221,3 515,=14EXYEXEYEX YEX EYD XY 则。故选（C）二、填空题：二、填空题：9 9 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（9）已知函数()f x满足301()sin21lim21xxf xxe，则0lim()xf x_.【答案答案】：6【解析】【解析】301()sin21lim21xxf xxe版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282814由等价无穷小替换得，01()sin22lim23xf xxx,01()22lim23xf xxx。因此0lim()6xf x（10）极限2112limsin2sinsinnnnnnnn_.【答案】【答案】：cos1 sin1【解析】【解析】221111211limsin2sinsinlimsinlimsinnnnnniiniiininnnnnnnnn1110001sincoscoscoscos1 sin10 xxdxxdxxxxdx （11）设 函 数,f u v可 微，,zz x y由 方 程221,xzyx f xz y确 定，则0,1_dz【答案答案】：0,12dzdxdy【解析解析】：由一阶微分形式不变性，2212(1)22(,)(,)(,)zdxxdzydyxf xz y dxx fxz ydxdzx fxz y dy将0,1,1xyz代入，20dxdzdy,所以，0,12dzdxdy（12）设=,|1,11Dx yxyx，则22=yDx edxdy_【答案答案】：e3231【解析解析】：2222111222300021222333yyyyyDDx edxdyx edxdydyx edxy edye（其中1D为D在第一象限部分）（13）行列式100010_0014321【答案答案】：432234版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282815【解析解析】：令-1000-10=00-1432+14D由展开定理地递推公式2433224,3,2DDDDD，故（14）设袋中有红、白、黑球个 1 个，从中有效回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的求都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为_.【答案】【答案】29【解析解析】：要求前三次必须恰好取到两种不同颜色的球，第四次取到剩下一种颜色的球前三次恰好取到两种不同颜色球的概率为233322233C，在前三次恰好取到两种不同颜色的球的前提下，最后一次取到剩下一种颜色的球的概率为13。故所求概率为29。三三、解答题解答题：15152323 小题小题，共共 9494 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过证明过程或演算步骤程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限410lim cos22 sinxxxxx【解析解析】由重要极限得，原式为243444444000111112221()()cos22 sin1224613limlimlim3xxxxxx xxo xxo xxxxxxxeeee（16）(本题满分 10 分)设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数 QQ p，需求弹性0120pp，p为单价（万元）（）求需求函数的表达式（）求100p 万元时的边际收益，并说明其经济意义。【解析解析】（1）由弹性的计算公式P dQQ dP 可得，120P dQPQ dPP。分离变量，得120dQdPQP；两边同时积分，可得lnln(120)QPC，即(120)QCP（C版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282816为任意常数）。由于最大需求量为1200，可知 01200Q，故10C，因此10(120)QP（）10(120)RQPP P边际收益为1(120020)()212010dRdR dPPPdQdP dQ，从而10080PdRdQ。它的经济意义是需求量每提高 1 件，收益增加 80 万元。（17）(本题满分 10 分)设函数 12200f xtx dtx，求 fx，并求 f x的最小值。【解析解析】：01x时，1222232041()33xxf xxtdttx dtxx当1x 时，122201()3f xxtdtx所以，32241,0133()1,13xxxf xxx，从而242,01()2,1xxxfxx x由导数的定义可知(1)2,f，可知242,01()2,1xxxfxx x易知，当10,2x时，()0fx；当1,12x时，()0fx；当1,x时，()0fx。可知，()f x的最小值为1124f（1818）(本题满分 10 分)设函数 f x连续，且满足 001xxxf xt dtxt f t dte，求 f x【解析解析】：】：0 xf xt dt做变量替换uxt，则 000 xxxf xt dtf uduf u du则代入方程可得：0001xxxxf u duxf t dttf t dte两边同时求导数可得：版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282817 01xxf xf t dte由于 f x连续，可知 0 xf t dt可导，从而 f x也可导，故对上式两边在求导可得：xfxf xe由 1式两边令0 x 可得到，01f 解微分方程可得：1122xxfxee（1919）(本题满分 10 分)求幂级数220121nnxnn的收敛域及和函数。【解析解析】：易知022)12)(1(nnnnx的收敛半径为1,且当1x与1x时，级数收敛,可知幂级数的收敛域为 1,1.令022)12)(1()(nnnnxxf，两边同时求导可得：012122)(nnnxxf.两边再求导可得202122)(xxxfnn.积分可得Cxxxf11ln)(.由于0)0(f，可知)1ln()1ln()(xxxf，再积分可得Cxxxxxf)1ln()1()1ln()1()(.由于0)0(f，可知)1ln()1()1ln()1()(xxxxxf.因此，)1ln()1()1ln()1()(xxxxxf,1,1x.版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282818（20）（本题满分 11 分)设矩阵11101111aaaaA，2210a，且方程组Ax无解.（1）求a的值.（2）求方程组TTAAxA的通解.【解析】：【解析】：（1）21110012100022aAaaa a，方程组Ax无解，可知0a。（2）322222222TA A，122TA 3221100 1222201122222000 0TTA A A，则通解为0112,10kkR（21）(本题满分 11 分)已知矩阵000032110A.（1）求99A.（2）设三阶矩阵),(321B满足BAB 2，记),(321100B，将321,分别表示为321,的线性组合。【解析】：【解析】：（1）2112303200EA，可知A的特征值为：0,1,2。3100112230011000000A，则0的特征向量为322 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282819111110220001001000AE，则1的特征向量为110 11021122210001002000AE，则2的特征向量为120 令311212200P，则1012P AP ,1AP P,则有9999989999110010099991003110221 22222121212221 22220021000112APP（2）2BBA可知10099BBA，即99999810010099123123221222221222000，则991001122222，991002121212，98993122222（22）(本题满分11分)设二维随机变量),(YX在区域2(,)|01,Dx yxxyx服从均匀分布，令YXYXU01（1）写出),(YX的概率密度.（2）问U与X是否相互独立，说明理由。（3）求XUZ的分布函数)(ZF.版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 40122828140122828110【解析【解析】：（1）D的面积31)(102dxxxS，则),(YX的概率密度其他0),(3),(Dyxyxf.（2）其他，010)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxXxXXxxxxxdttfxF1110200)()(323当0U 时，2300320111xP Xxxxxx，可知X与U有关，故不独立。（3）)(zUXPzZPzF0|211|1210|01|1UzXPUzXPUzYXPUPUzUXPUP其中323220000|03201,|143011111xxP Xx UxxxP Xx Uxxxxx故322011|14(1)3(1)1212zP XzUzzzz2300|0320111zP Xz Uzzzz.从而233220,0132,012()114(1)3(1),12221,2zzzzF zzzzz版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 40122828140122828111（23）(本题满分 11 分)设总体X的概率密度为2230(;)0 xxf X，其他，其中),0(为未知参数，321,XXX为来自总体X的简单随机样本,令,max321XXXT（1）求T的概率密度。（2）确定a，使得)(aTE.【解析】：【解析】：（1）T的分布函数为,)(321xXxXxXPxTPxFT331)(xFxXPii（)(xF为X的分布函数）.则T的概率密度为82990()3()()0TxxfxF xf x其他.(2)1099)(099dxxdxxxfETT，则109)(aaETaTE，可知910a.关注微博中公考研关注微信公众号 中公考研网19 考研交流 5 群：5171112582019 考研交流 7 群：345416840