黑龙江省大庆市2021届高三数学下学期4月第二次教学质量监测（二模）试题 理 答案

理科数学答案及评分标准一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分题号123456789101112答案AABCDBDCBACA二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13； 14 ； 15 ； 16三解答题17（本小题满分12分）解：（1）选条件，因为，所以，根据正弦定理得， 2分由余弦定理得， 4分因为是的内角， 5分所以 6分选条件，因为，由正弦定理得， 2分因为,是的内角，所以，所以，展开得， 因为是的内角，所以，所以， 4分 因为是的内角， 5分所以 6分（2）因为，为锐角三角形，所以， 解得 8分在中，所以，即， 10分由可得，所以，所以 12分18（本小题满分12分）解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，没使用过政府消费券的人数为人， 完成表格如下：使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下903012045岁以上503080总计140602002分由列联表可知， 4分因为，所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关 6分（2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，没使用政府消费券的频率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3， 7分， ， ， ， 9分 所以的分布列为：012310分所以 12分19（本小题满分12分）解：（1）取中点为，连接、，因为是正方体，点和为所在棱中点，所以，所以四边形为平行四边形， 所以， 2分在正方形中，点和为中点，所以， 3分所以， 4分又因为， 5分所以/平面 6分（2）因为为正方体，所以，以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1，则， 所以， ， 7分设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即 ，取，则，故， 8分又，即 ，取，则，故， 9分设二面角的平面角为，则， 10分整理得，可化简为，解得，所以当时，二面角的平面角的余弦值为 12分20（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，即 1分又因为椭圆的离心率为，即， 2分所以，所以椭圆的方程为 4分（2）法一：当斜率为0时，同理，当斜率不存在时，也有 5分当斜率存在且不为0时，设斜率为，则方程为，设，联立得，易知，且， 6分由弦长公式得，8分设，因为，所以直线的斜率为，所以， 9分所以， 10分因为，当且仅当即时取“=”， 所以， .11分显然，所以的最小值为，此时. .12分法二：当斜率为0时，同理，当斜率不存在时，也有 5分当斜率存在且不为0时，设斜率为，则方程为，设，联立得，易知，且， 6分由弦长公式得，8分设，因为，所以直线的斜率为，所以， 9分所以， 10分所以， 当且仅当时取“=”，此时， 11分因为，所以的最小值为，此时 12分21（本小题满分12分）解：由题意得， 1分当时，因为，由得，解得；由得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增 3分当时，因为，由得，解得；由得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增 5分所以，当时，在上单调递减，在上单调递增当时，函数在上单调递减，在上单调递增 6分（2） 证明：由题意知，直线的斜率，又因为，所以， 因为，所以. 7分故. 因为，所以，整理可得，即， （*） 9分令，则，欲证（*）成立，等价于证明成立，即证：，令函数，则，所以在上为单调递增函数， 11分所以，即成立，所以 12分22（本小题满分10分）解：（1）由（为参数），消去参数可得直线的普通方程为，2分由，得，即，整理可得曲线的直角坐标方程为 4分（2）直线经过点，将直线的参数方程（为参数）代入椭圆中，整理得， 6分显然，设点，对应的参数分别为，则有， 8分因为同号， 故 10分23（本小题满分10分）解：（1）法一：由绝对值三角不等式可得， 2分当且仅当时，等号成立， 所以 4分法二：因为当时，； 1分当时，； 2分当时，； 3分综上，的最小值 4分（2）因为，所以， 同理可得， 6分由基本不等式可得 ， 9分当且仅当时，等号成立， 因此 10分