高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲二次函数与幂函数精选教案理042548

第7讲二次函数与幂函数考纲要求考情分析命题趋势1掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间2了解幂函数的概念3结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况2017·全国卷，112017·山东卷，102016·全国卷，62015·浙江卷，181二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查2幂函数的图象和性质，很少单独出题3二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查分值：58分1幂函数的概念一般地，函数_yx_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数2几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数yx(R)图象>0<0性质图象过点_(0,0)_和_(1,1)_图象过点_(1,1)_在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，)上是_增函数_在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，)上是_减函数_在第一象限内，当>1时，图象下凹；当0<<1时，图象上凸在第一象限内，图象都下凹形如yx或yx (m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数3二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)_ax2bxc_(a0)；(2)顶点式：f(x)_a(xh)2k_(a0)；(3)零点式：f(x)_a(xx1)(xx2)_(a0)4二次函数的图象与性质二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x！#；(2)顶点坐标：！#；(3)开口方向：a>0时，开口_向上_，a<0时，开口_向下_；(4)值域：a>0时，y！#，a<0时，y_；(5)单调性：a>0时，f(x)在！#上是减函数，在_上是增函数；a<0时，f(x)在上是_增函数_，在上是_减函数_.5二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2bxc0的_根_，也是一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)解集的_端点值_6二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的_端点_或二次函数的_顶点_处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值1思维辨析(在括号内打“”或“×”)(1)函数y2x是幂函数(×)(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n<0时，幂函数yxn是定义域上的减函数(×)(4)二次函数yax2bxc，xm，n的最值一定是.(×)解析(1)错误不符合幂函数的定义(2)正确因为图象与坐标轴相交，则由x0得y0，若y0，则得x0.(3)错误幂函数yx1在定义域上不单调(4)错误当m，n时，二次函数的最值，在区间端点取得，而非.2函数yx的图象(图中虚线为直线yx)是(B)解析因为函数yx是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A项，D项；当x>1,0<a<1时，yxa在直线yx下方，排除C项，故选B3函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是(A)Am2Bm2Cm1Dm1解析当m2时，f(x)x22x1，对称轴为x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，故选A4已知f(x)是二次函数，且f(x)2x2，若方程f(x)0有两个相等实根，则f(x)的解析式为(D)Af(x)x22x4Bf(x)2x22x1Cf(x)x2x1Df(x)x22x1解析设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，a1，b2，f(x)x22xc.44c0，c1，故f(x)x22x1，故选D5函数y3的值域是_(，2_.解析因为22xx2(x1)211，所以1，所以y2.一幂函数的图象和性质幂函数yx的性质和图象由于的取值不同而比较复杂，一般可从三个方面考查：(1)曲线在第一象限的“升降性”：>0时图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；<0时图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的“凹凸性”：>1时曲线下凹，0<<1时曲线上凸，<0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性【例1】 (1)已知函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且x(0，)时，f(x)是增函数，则m的值为(B)A1B2C1或2D3(2)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是(C)(3)已知f(x)x，若0<a<b<1，则下列各式正确的是(C)Af(a)<f(b)<f<fBf<f<f(b)<f(a)Cf(a)<f(b)<f<fDf<f(a)<f<f(b)解析(1)函数f(x)(m2m1)·x m2m3是幂函数，m2m11，解得m1或m2.又函数f(x)在(0，)上为增函数，m2m3>0，m2.(2)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，f(x)x.(3)0<a<b<1，0<a<b<<，又f(x)x为增函数，f(a)<f(b)<f<f.二二次函数的解析式求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，方法如下：【例2】 (1)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为_f(x)4x24x7_.(2)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>2x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的根，则f(x)的单调递增区间为_(，3_.解析(1)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所以所求二次函数为f(x)4x24x7.(2)因为f(x)2x>0的解集为(1,3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a<0，所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a·9a0，解得a1或a.由于a<0，舍去a1将a代入式得f(x)x2x(x3)2，所以函数f(x)的单调递增区间是(，3三二次函数的图象和性质二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系【例3】 (1)已知二次函数f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值(2)已知a是实数，记函数f(x)x22x2在a，a1上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式解析(1)当a>0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.当>1，即0<a<1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.当a<0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x<0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min(2)f(x)x22x2(x1)21，xa，a1，aR，对称轴为x1当a1<1，即a<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间a，a1上为减函数，所以最小值为f(a1)a21；当a1a1，即0a1时，函数图象如图(2)，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间a，a1上为增函数，所以最小值为f(a)a22a2.综上可知，g(a)【例4】 (1)若函数f(x)x22ax3在区间4,6上是单调函数，则实数a的取值范围为_(，64，)_.(2)若函数f(x)x23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是！#.解析(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(2)函数f(x)图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，由二次函数的图象知m的取值范围为.1若幂函数f(x)mx的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(C)A2xy0B2xy0C4x4y10D4x4y10解析根据函数f(x)mx为幂函数，所以m1，根据图象经过点A，则有，所以f(x)x，f(x)，f1，故所求切线方程是4x4y10.2已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为(B)A2，2B(2，2)C1,3D(1,3)解析由题意可知，f(x)ex1>1，g(x)x24x3(x2)211若有f(a)g(b)，则g(b)(1,1，即b24b3>1，解得2<b<2.3已知函数f(x)x23x4的定义域为2,2，则f(x)的值域为！#.解析函数f(x)x23x4图象的对称轴为x，所以在区间2,2上，函数的最大值为f23×4，函数的最小值为f(2)(2)23×(2)46，所以函数的值域为.4(2018·广东广州摸底)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1(1)求f(x)的解析式；(2)在区间1,1上，yf(x)的图象恒在y2xm的图象的上方，求实数m的取值范围解析(1)设f(x)ax2bxc，由f(0)1，得c1，故f(x)ax2bx1因为f(x1)f(x)2x，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，所以所以所以f(x)x2x1(2)由题意得x2x1>2xm在1,1上恒成立即x23x1m>0在1,1上恒成立设g(x)x23x1m，因为g(x)的图象开口向上，对称轴为x，所以g(x)在1,1上是减函数，故g(x)ming(1)123×11m>0，解得m<1故实数m的取值范围为(，1)易错点忽视一元二次方程中对的讨论错因分析：忽略已知一元二次方程有根时，便隐含了0以及韦达定理的内容【例1】 已知关于x的方程x22mx4m260的两根为，试求(1)2(1)2的最小值解析由题意得(1)2(1)2()222()2(2m)22(4m26)4m24m24m144215，又0，即(2m)24(4m26)0，m，当m时，(1)2(1)2的最小值为64.【跟踪训练1】 已知函数f(x)x22mx2m3(mR)，若关于x的方程f(x)0有实数根，且两根分别为x1，x2，则(x1x2)·x1x2的最大值为(B)A1B2C3D4解析x1x22m，x1x22m3，(x1x2)·x1x22m(2m3)42.又4m24(2m3)0，m1或m3.t42在m(，1)上单调递增，在m3，)上单调递减，m1时最大值为2.(x1x2)·x1x2的最大值为2，故选B课时达标第7讲解密考纲本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等一、选择题1(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f(x)k·xa的图象过点，则ka(C)AB1CD2解析因为f(x)k·xa是幂函数，所以k1又f(x)的图象过点，所以a，所以a，所以ka1.2(2018·天津模拟)抛物线yax2bxc的顶点在第一象限与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的符号为(B)Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0解析由题意知，抛物线开口向下，故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得>0，所以b>0.3对任意的x2,1，不等式x22xa0恒成立，则实数a的取值范围是(D)A(，0B(，3C0，)D3，)解析设f(x)x22xa(x2,1)，由二次函数的图象知，当x1时，f(x)取得最大值3a，所以3a0，解得a3，故选D4对于幂函数f(x)x，若0<x1<x2，则f和的大小关系是(B)Af<Bf>CfD无法确定解析根据幂函数的性质：当0<x<1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B项正确5设函数f(x)x2xa(a>0)，已知f(m)<0，则(C)Af(m1)0Bf(m1)0Cf(m1)>0Df(m1)<0解析因为f(x)的对称轴为x，f(0)a>0，所以f(x)的大致图象如图所示由f(m)<0，得1<m<0，所以m1>0，所以f(m1)>f(0)>0，故选C6(2017·山东卷)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(B)A(0,12，)B(0,13，)C(0，2，)D(0，3，)解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当0<m1时，1，如图，当x0,1时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；(2)当m>1时，0<<1，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)故选B二、填空题7已知函数f(x)x，且f(2x1)<f(3x)，则x的取值范围是！#.解析f(x)x在定义域0，)上是递增的，由f(2x1)<f(3x)，得02x1<3x，所以x.8二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为！f(x)(x2)21#.解析依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0,1)，4a11，a，f(x)(x2)219已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x(0,2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm.如果x12,2，x22,2，使得g(x2)f(x1)，则实数m的取值范围是_5，2_.解析由题意得函数f(x)在2,2上的值域A为函数g(x)在2,2上的值域B的子集，又当x(0,2时，f(x)2x1(0,3，所以当x2,0)时，f(x)3,0)，而f(0)0，因此A3,3由二次函数性质知Bm1,8m，从而解得5m2.三、解答题10已知二次函数图象的对称轴为x，截x轴所得的弦长为4，且过点(0，1)，求函数的解析式解析二次函数图象的对称轴为x，可设所求函数的解析式为f(x)a(x)2b.二次函数f(x)的图象截x轴所得的弦长为4，f(x)过点(2,0)和(2,0)又二次函数f(x)的图象过点(0，1)，解得f(x)(x)22.11(2018·山东德州月考)已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)f(x)mx在2,4上单调，求m的取值范围解析(1)f(x)a(x1)22ba.当a>0时，f(x)在2,3上为增函数，故当a<0时，f(x)在2,3上为减函数，故或(2)b<1，a1，b0，即f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，g(x)在2,4上单调，2或4.m2或m6.故m的取值范围为(，26，)12(2018·河北唐山调研)设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.求f(x)的最小值解析(1)当xa时，函数f(x)x2xa12a.若a，则函数f(x)在(，a上单调递减，从而函数f(x)在(，a上的最小值为f(a)a21；若a>，则函数f(x)在(，a上的最小值为fa，且ff(a)当xa时，函数f(x)x2xa12a.若a，则函数f(x)在a，)上的最小值为fa，且ff(a)；若a>，则函数f(x)在a，)上单调递增，从而函数f(x)在a，)上的最小值为f(a)a21综上，f(x)min13