一交错级及其判别法

一、交错级数及其判别法定义定义:正、负项相间的级数正、负项相间的级数3 3 ),2,1,0(114321nuuuuuunnnnnu1)1(为交错级数 定理定理12.1112.11（莱布尼茨判别法）设 nnu1)1(满足以下两个条件 1）数列 nu单调递减 2）0limun 则nnu1)1(收敛 证明证明nnnnuuuuuus212223212)()(又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u,01 nnuu.lim12ussnn ,0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列ns)(limlim12212 nnnnnuss,s 所以数列 nS收敛 nnu1)1(nnu1)1(推论推论 若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式为1nnuRnunu若级数收敛，则称级数绝对收敛 nununu若级数收敛，但是级数不收敛，则称级数为条件收敛。nunu定理定理12.1212.12 若级数收敛，则级数收敛 对任何正数总存在正数N，使得nN和任意正数r,有证证 rmmmuuu21由于rmmmuuu21rmmmuuu21因此由柯西准则知级数nu也是收敛的。例例1 1 证明级数!nan绝对收敛.证证 由于对任何实数有nnnuu1lim01limnn，所以对所考察的级数对任何实数级数都绝对收敛 绝对收敛级数的两个重要性质1.级数的重排定义:把正整数列,2,1 n到它自身的一一映射)(:nknf称为正整数列的重排,相应地对于数列按映射nu)(:nknuuF所得到的数列)(nku称为原级数的重排,相应也称级数1nnu1)(nnku是级数的重排.则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的定理12.13 设级数1nnu绝对收敛,且其和等于S和数.注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如：Annn615141312111)1(11Annn23417151213111)1(112.级数的乘积设)1(21Auuuunn)2(21Bvvvvnn为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表：nnnnnnnnvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvu321333231323222121312111这些乘积jivu可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是分别有：33323112222111vuvuvuvuvuvuvu和132231122111vuvuvuvuvuvu定理12.14(柯西定理)若级数(1)、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积jivu按任意顺序排列所得到的级数1nnw也绝对收敛，且其和等于.AB例例2 2 等比级数 1111nnrrr1 2nr332231122111vuvuvuvuvuvu是绝对收敛的，将按的顺序排列，则得到nnnrrrrrrrrr)()(1)1(12222=1+2nrnrr)1(32 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式）设),2,1(,nivii为两组实数，若令),2,1(21nkvvvkk则有如下分部求和公式成立：nnnnnniiiv112132121)()()(证：以),3,2(,111nkvvkkk分别乘以),3,2(nkk整理后就得所要证的公式。推论（阿贝耳引理）若（1）n,21是单调数组；（2）对任一正整数)1(nkk有,|Ak则记|maxkk时，有：nkkkAv13|证：由（1）知nn13221,都是同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得|)()()(|112132121nnnnnnkkkv|)()(|121nnnA|1nnAAAAn3|)|2|(|1以下讨论级数nnnnnbabababa21211的收敛性。定理12.15 (阿贝尔判别法)若na为单调有界数列,且级数nb收敛,则级数nnba收敛.定理12.16 (狄利克雷判别法)若na单调递减,又级数nb部分和数列有界,则级数nnba收敛.且,0limnna例3 若数列na具有性质:,0lim,21nnnaaaa则级数nxansin和nxancos对任何)2,0(x都收敛.解:因为)2sin23(sin2sin)cos21(2sin21xxxkxxnkxnxnxn)21sin()21sin()21sin(当)2,0(x时,02sinx故得到2sin2)21sin(cos211xxnkxnk所以级数nxancos的部分和数列当)2,0(x时有界,由狄利克雷判别法推得级数nxancos收敛.同理可证级数nxansin也是收敛的.特别地,级数nnxsin和nnxcos对一切)2,0(x都成立.