高中数学复习 知识点归纳 10导数

十、导数：一、导数的概念：（1）函数在点处可导：函数在到之间的平均变化率，即； 如果当时，有极限，则称函数在点处可导。（2）函数在开区间内可导：如果函数在开区间内每一点处都可导，则称函数在开区间内可导；（3）函数在点的导数：如果函数在点处可导，那么极限叫做函数在点的导数（或变化率），记作：或；即（4）函数在开区间内的导函数(导数)：如果函数在开区间内可导，那么对于开区间的每一个确定的值都对应着一个确定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这新函数叫做函数在开区间内的导函数（简称导数），记或；即：（5）导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率，即；（6）导数在物理中的运用：函数在点处的导数，就是当物体的运动方程为时，物体运动在时刻的瞬时速度，即；物体运动在时刻的加速度；二、几种常见函数的导数：（为常数）；三、函数的和、差、积、商的导数：（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即 容易推广到有限个函数的情形：（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：容易推出：（为常数）：常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数；四、导数的运用：（1）函数的单调性：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。设函数在某个区间内可导，如果在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内(或)。求可导函数单调区间的步骤：求； 解不等式(或)；确认并指出递增区间(或递减区间)；证明可导函数在内的单调性的步骤：求； 确认在内的符号； 作出结论；（2）函数的极大值与极小值：函数极值的定义：设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有(或)，就说是函数的一个极大(小)值；求可导函数的极值的步骤：求； 求方程的全部实根；检查在方程的根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值。（3）函数的最大值与最小值：求在上的最大值和最小值的步骤：求在内的极值；将的各极值与，比较，确定的最大值与最小值；