中考复习专题9：四边形

第九讲 四边形考点分析知识回顾，考点梳理一 一般四边形1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.2多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.二 平行四边形的判定与性质1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。3平行四边形的性质：因为ABCD是平行四边形Þ4.平行四边形的判定：.5.平行线之间的距离及特征平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。三 矩形的判定与性质1. 矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。4.矩形的性质：因为ABCD是矩形Þ5. 矩形的判定：Þ四边形ABCD是矩形.四 菱形的判定与性质1. 菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。3. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。4菱形的性质：因为ABCD是菱形Þ5菱形的判定：Þ四边形四边形ABCD是菱形.五 正方形的判定与性质1. 正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。2. 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。3. 正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。4. 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。5正方形的性质：因为ABCD是正方形Þ （1） （2）（3） 6正方形的判定：Þ四边形ABCD是正方形. (3)ABCD是矩形又AD=AB 四边形ABCD是正方形六 梯形的判定与性质1. 梯形定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。2. 梯形判定1：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。3. 梯形判定2：一组对边平行且不相等的四边形是梯形。4. 直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。5. 等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。6. 等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。7等腰梯形的性质：因为ABCD是等腰梯形Þ 8等腰梯形的判定：Þ四边形ABCD是等腰梯形(3)ABCD是梯形且ADBCAC=BDABCD四边形是等腰梯形9. 梯形辅助线的添法 （图一） （图二） （图三） （图四） （图五） （图六） （图七） （图八）七 中位线的判定与性质1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（三角形有三条中位线）2. 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。3. 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。（梯形的中位线有且只有一条）4. 梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。5. 梯形面积：梯形面积等于中位线与高的乘积。八 几个常见公式： 1S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）2S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）3S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）九 四边形知识脉络图 考点精析考点1.一般多边形角度对角线和面积的相关计算.：例1一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是_例2 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是A2BC1D例3. 如图1，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图1中四边形ABCD就是一个格点四边形.（1）图1中四边形ABCD的面积为 ；（2）在答题卡所给的方格纸中画一个格点三角形EFG，（图1）使EFG的面积等于四边形ABCD的面积。1若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是 A3 B4 C5 D62四边形的内角和为( ) A90°B180°C360°D720°3一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）。A10B11C12D以上都有可能 4下列命题是假命题的是A三角形的内角和是180oB多边形的外角和都等于360o C五边形的内角和是900o D三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和考点2. 平行四边形的判定和性质例4.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个例5. 如图2，E是ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若FCD=D，则下列结论不成立的是（ ）A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF 图3FA E BCD例6. 如图3，在ABCD中，AEEB，AF2，则FC等于_ 例7.如图4，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：，ABCD已知：在四边形中，；求证：四边形是平行四边形图41.已知四边形，有以下四个条件：；从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（ ）D（A）6种 （B）5种 （C）4种 （D）3种图5CA2.如图5，在ABCD中，AC平分DAB，AB = 3， 则ABCD的周长为BA6 B9 C12 D15CABDEFO图63如图6，在ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF求证：EBF=FDE4已知：如图7，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点ADEFBC求证：AF=CE图75如图8，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE已知BAC=，EFAB，垂足为F，连结DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形图8考点3.：矩形的判定和性质例8.如图9，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）图9BAGCDHE图10A B C D不确定例9.如图10，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为( )A4 B3 C2 D1例10.如图11,矩形纸片ABCD，AB5cm，BC10cm，CD上有一点E，ED2cm，AD上有一点P，PD3cm，过P作PFAD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_cm.例11.如图12，四边形ABCD是矩形，EDC=CAB，图11DEC=90°(1)求证：ACDE；(2)过点B作BFAC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由图121 如图13，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若，那么的度数为 度。图132小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图）如果第二次折叠后，M点正好在NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ABCDABCDEFABCDEGMN3如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A，D处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）A18cmB36cmC40cmD72cm4如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长BCAEDF考点4. 菱形的判定和性质：例12.如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DEAB，垂足为E，则下列结论正确的个数有 ABCD（第6题）菱形的面积为 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个例13.如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC6，BD8，则此菱形的边长为A5 B6 C8 D10例14.若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为A16B8C4D1例15.已知：在菱形中，是对角线上的一动点（1）如图甲，为线段上一点，连接并延长交于点，当是的中点时，求证：；（2）如图乙，连结并延长，与交于点，与的延长线交于点若，求和的长1如图，ADFE，点B、C在AD上，12，BFBC求证：四边形BCEF是菱形若ABBCCD，求证：ACFBDE2如图7，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E(1) 求ABD 的度数； (2)求线段的长3如图，在菱形ABCD中，DEAB，BE=2，则tanDBE的值是A B2 C D4如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积考点5. 正方形的判定和性质：10题图例16.已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点若， 下列结论：；点到直线的距离为；其中正确结论的序号是（ ）第7题图A B C D 例17.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；.，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .A. 669 B. 670 C.671 D. 672例18.如图1，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若AFB经过逆时针旋转角后与AED重合，则的取值可能为（ ）A90° B60° C45° D30°例19.边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABCD，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。A2BABACADCAMANA图6C2D2 例20.如图6，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是 A1.5 B2 C2.25 D2.5例21.已知四边形中，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A B C D 例22.如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1）设AE=时，EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。1.下列说法中,你认为正确的是A四边形具有稳定性 B等边三角形是中心对称图形C任意多边形的外角和是360o D矩形的对角线一定互相垂直2正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则(第10题图)的面积为：（A）10 （B）12 （C）14 （D）163如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是A B C D4如图4，在正方形ABCD的外侧作等边ADE，则AEB的度数为 A10° B12.5° C15° D20°5如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图）；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为 ABCDA1B1C1D1第10题图（1）CDA1B1C1D1ABA2B2C2D2第10题图（2）6已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论7如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F （1）证明：BAE=FEC；（2）证明：AGEECF；（3）求AEF的面积考点6. 梯形的判定和性质：例23.已知等腰梯形的底角为45o，高为2，上底为2，则其面积为（A）2 （B）6 （C）8 （D）12例24.如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形例25.如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD，BDCD（1）求sinDBC的值；BACD（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积例26.已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=AD（如图7所示），BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.（1）在图7中，用尺规作BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）ABC60°，EC=2BE，求证：EDDC.图71下列说法中错误的是（ ）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直平分D. 等腰梯形的对角线相等 2如图5，在等腰梯形ABCD中，ADBC求证：AC180°3如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，DCB=75º，以CD为一边的等边DCE的另一顶点E在腰AB上（1）求AED的度数；（2）求证：AB=BC；（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，FBC=30º求 的值4已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点GCEFB90°，EABC30°，ABDE4求证：EGB是等腰三角形；若纸片DEF不动，问ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图）求此梯形的高考点7. 四边形的综合题目：例27.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO例28.如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若RtGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。例29.如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：是定值图10【回归中考】1如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90o，ACBC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值 2. （2010广东东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB6，BC4，点F在DC上，DF2动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得FMN，过FMN三边的中点作PQW设动点M、N的速度都是1个单位秒，M、N运动的时间为x秒试解答下列问题：说明FMN QWP；设04（即M从D到A运动的时间段）试问为何值时，PQW为直角三角形？当在何范围时，PQW不为直角三角形？问当为何值时，线段MN最短？求此时MN的值3（2010江苏 镇江）探索发现（本小题满分9分） 如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时， 试解决下列问题： （1）填空：点D坐标为 ； （2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD能否成立？为什么？ （4）设CM与AB相交于F，当BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.