108曲线曲面积分习题课ppt课件

第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分第一类曲线积分线面积分总结曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联络联络联络联络（一曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联络络dsQPQdyPdxLL)coscos(计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)(dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1(CDCQdyPdx闭闭曲曲线线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),(lim),(10 联联络络 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代一代,二换二换,三投三投(与侧无关与侧无关)一代一代,二投二投,三定向三定向 (与侧有关与侧有关)dSRQP)coscoscos(,)f x y z dS xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(,dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,曲线积分的计算法曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终（3 3计算计算直接计算法直接计算法第一类：从小参数到大参数；第一类：从小参数到大参数；第二类：从起点参数到终点参数。第二类：从起点参数到终点参数。化为对化为对L的定位参数的定积分。的定位参数的定积分。注意：注意：先化简；先化简；间接计算法：间接计算法：第二类与定向有关。第二类与定向有关。用两类曲线积分的联系；用两类曲线积分的联系；用用GreenGreen公式或公式或StokesStokes公式；公式；两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()(tytxL ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为,),(为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧基本技巧第一类曲线积分的几何与物理意义-并注意求曲面侧面积时面积微元的选取.,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),(LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 2 2、曲面积分、曲面积分两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系 Sd0n dSdS)cos,cos,(cos (,)dydz dzdx dxdy222222cos,cos,111cos.1yxxyxyxyzzzzzzzz曲面曲面的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量为为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1,dSnA0,dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyx 面投影面投影在在将将曲面的投影问题曲面的投影问题:面面在在xoyS,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xyS)(曲曲面面 S 计算计算直接计算法直接计算法第一类：化为对某两个直角坐标（第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参的定位参 数的二重积分；数的二重积分；第二类：将对第二类：将对x x、y y的曲面积分化为对的曲面积分化为对x x、y y的的二重积分。二重积分。注意：注意：先化简；先化简；间接计算法间接计算法用两类曲面积分的联系；用两类曲面积分的联系；用高斯公式用高斯公式第二类与定向有关。第二类与定向有关。(1)统一积分变量 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面2.基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化例例1).(,sin,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 例例2 .0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性,知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsazoyx1其中由平面 y=z 截球面22yx 提示提示:因在因在 上有上有,1222yx故:原式=tttdsincos2022221tttd)cos1(cos42022221221432212162txcostysin21 sin21tz)20(t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z例例3 计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx提示提示:利用极坐标利用极坐标,)22(cos:arLdd22rrs原式=sxaLd22dcos22aa22a说明说明:若用参数方程计算若用参数方程计算,:L)20(txaoyrda)cos1(2txatyasin2t那么tyxsdd22 tad2例例4例例5.)1,1()1,1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的的定定积积分分，化化为为对对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx45xy 2)1,1(A)1,1(B的的定定积积分分，化化为为对对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy.11到到从从 y 1142dyy45xy 2)1,1(A)1,1(B例例6.计算计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解:利用轮换对称性利用轮换对称性,有有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx(的重心在原点)求力沿有向闭曲线 所作的功,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三提示提示:BAzyxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1(3zz23方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,),(xzyF 例例7.设三角形区域为,方向向上,那么zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31)1,1,1(31n方法方法2nBAzyxCo23yxDyxdd33思路思路:LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线再用公式补充曲线再用公式解解xyP2 由于由于xxQ2 ,xQyP 有有xyo11A 104102)1(dyydxx故故原原式式2315解解myeyPx cosyexQxcos xQyP 有有xyo)0,(aAMmxQyP 但但 AMOAOAOAOALIdxdy)yPxQ(D 0 Ddxdym.82am 在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面，其中其中求求1 C),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例10 xyoz111 解解),1,1,1(n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos ),(31xzyxfI dSzyx)(3113dS.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 所所截截部部分分外外侧侧被被平平面面为为锥锥面面求求2,1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例11解解 21220rdrrd152 xyDdxdyyx)(22dxdyzI 2对对称称性性41:22 yxDxy解解221 xzy 旋转面方程为旋转面方程为 *I dvyyy)4418(*2)31(2dzdx dv zxDdzdx)(16 322 .34 xyzo132 *例例 13 13积分曲面积分曲面：yz 5,解解投影域投影域：25|),(22 yxyxDxy()xyz dS故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 计计算算 xdS,其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例 14 14解解 321 其其中中1：0 z,2：2 xz,3：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显然显然 011 DxdxdyxdS,01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时,将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分为为左左、右右两两片片）3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同）xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx,xdS 00.例例 15 15被被积积函函数数),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称,积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性,故故原原积积分分 18,(其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1：azyx ,即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 例例 16 162222dS ,:(0)Ixyzazzhha计上算算 其其中中 球球面面 被被平平面面 截截出出的的部部.xyzohaDxy解：解：222:yxaz 22211),()1(yxazzyx f yxzzs yxdd1d )2(22 :)3(xy D xyDyxayxa zsI222dd d 2222hayx yxyxaadd 222 2002222ddhararar 引入极坐标引入极坐标 sin,cosryrx =.22022)ln(212raraa haaln2 .1dd yxxyz0 xz y.0,0 1 dd 222的的部部分分外外侧侧在在是是球球面面 ,计计算算 yxzyxyxxyz1n2n1211 21 2211:yxz 2221:yxz 为为下下侧侧，1n是是负负侧侧。为为上上侧侧，2n是是正正侧侧。xyD 2dd yxxyz xyDyxyxxyd)d1(22 xyDyxyxxyd)d1(22 xyDyxyxxyd)d1(222:xyD sincos ryrx令令122 yxrrrrrd1sincosd210220 rrrd1dsin2102320 152.1解：解：)0,0(yx例例 17 17 .dd 222222下下半半部部分分的的下下侧侧是是球球面面 ,计计算算RzyxyxzyxI :下半部分下半部分球面球面解：解：,222yxRz 下侧为负侧。下侧为负侧。0 xz yR dd)(22222 xyDyxyxRyx I=.dd22222 xyDyxyxRyx用极坐标用极坐标.dsincosd20022224 RrrrRr dd 2sin412002252 RrrRr这是定积分，这是定积分，sin t Rr 令令.d)sin(sin20757 tttR 1 I!7!6!5!4!7 R 35724635247 R 1I记记.71058R I=d 2cos11058412047 R 10527R .例例 18 18 .0,0,0 ),(,dddddd 222czbyaxzyxyxzxzyzyxI 表表面面的的外外侧侧。整整个个是是长长方方体体其其中中计计算算abcy0 xz 1 2 3 4 5 6 解：解：dd2zyx dd52 zyx 6dd2zyx yzDzydd02 yzDzyadd2bca2 由本题变量字母的轮序对称性知：由本题变量字母的轮序对称性知：dd2xzy 2cab dd2yxzabc2.)(abccbaI .例例 19 19 .21,dd 2222侧侧所所围围成成的的立立体体的的表表面面外外及及平平面面是是锥锥面面 ,计计算算 zzyxzyxyxeIz20 xz y121123 321 I解：解：2D1D3D 1dd 22yxyxez 122dd 22Dyxyxyxe dd 2021 rrrer)(2 2ee 2dd 22yxyxez dd 2222 Dyxyxe d1d 20202 rrre24 e 3dd 22yxyxez dd322 Dyxyxe d1d 2010 rrree 2 eeee 24)(2 22I=22 e .例例 20 20例例21 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134,)(lim)(10 niiiMfdMf .)()(,badxxfdMfbaR 上上区区间间.),()(,2 DdyxfdMfDR 上上区区域域三、三、各种积分之间的联系各种积分之间的联系定积分定积分二重积分二重积分积分概念的联系积分概念的联系 dVzyxfdMfR),()(,3 上上区区域域.)()(,32 dsMfdMfRR 上上（有有向向）曲曲线线或或.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 上上（有有向向）曲曲面面曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(SdxdyzyxfdMf.)()(dxMfdMf 计算上的联系计算上的联系)(),(),()()(21面面积积元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()(),(),(2121),(),(baLdxyxyxfdsyxf21)(,),(baLdxdxxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),(baDxdydzzyxfdx或或,),(),(),(21 yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或或)(体积元素体积元素dV弧弧长长元元素素）（ds xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),(xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(线面关系dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos()(面面积积元元素素dS)(投影元素投影元素dxdy理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系方向方向 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式附、附、各种积分之间的联系图各种积分之间的联系图梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()(RdzQdyPdx散度散度三、场论初步证明题证明题证明证明:设设(常向量)那么单位外法向向量,试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n 为的.0d)cos(Sa,nSa,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a2121I特例特例 设设 是曲面是曲面9)1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解:取足够小的正数取足够小的正数,作曲面作曲面取下侧 使其包在 内,2为 xoy 平面上夹于之间的部分,且取下侧,1与21ozyx取上侧,计算,)0(z那么21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得曲线和曲面积分所讲的全部例题都必须详细看明白；关键在于每个题目所体现的切入点.