26.1锐角三角函数（1）

26.1锐角三角函数（1）教学目标【知识与能力】1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值,引出正切的概念.2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算.3.会计算特殊角的正切值.【过程与方法】1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系.2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力.【情感态度价值观】1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐.教学重难点【教学重点】理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值.【教学难点】 理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件展示】如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(AOC)为50°俯视旗杆底部B,俯角(BOC)为18°.旗杆的高约为多少米?【师生活动】教师展示章前页问题情境并简单说明,学生观察图示,教师引出本章课题.导入语通过测量仰角、俯角及小明与旗杆的距离,应用以前学过的数学知识,我们还不能求出旗杆的高度.通过本章的学习,你将能够解决这个问题.导入二:复习提问:1.直角三角形有哪些特殊性质?2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?【师生活动】学生思考回答,教师点评.导入三:【课件展示】如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)教师提问:该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtABC中,已知C=90°,BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)【师生活动】教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评.过渡语解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角函数,今天我们学习第一种锐角三角函数锐角的正切.设计意图通过章前页问题情境提出如何求得旗杆高度,让学生认识到本章将要学习的主要内容,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入三中把实际问题转化为数学问题,让学生初步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系.二、新知构建：共同探究直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值【课件展示】如图所示,在RtABC中和RtA'B'C'中,C=C'=90°.当A=A'时,BCAC与B'C'A'C'具有怎样的关系?思路一教师引导思考:(1)如何证明线段成比例?(三角形相似)(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?(A=A',C=C'=90°,RtABCRtA'B'C')(3)由三角形相似的性质可以得到BCAC与B'C'A'C'之间的关系吗?RtABCRtA'B'C',BCB'C'=ACA'C',即BCAC=B'C'A'C'(4)你能用语言叙述这个结论吗?(当锐角A确定时,A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评.思路二教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进行分析指导,对学生的展示进行点评.解:BCAC=B'C'A'C'.理由:A=A',C=C'=90°,RtABCRtA'B'C'.BCB'C'=ACA'C',即BCAC=B'C'A'C'.追问:你能用语言叙述这个结论吗?【师生活动】学生尝试叙述结论,教师归纳完整.结论:当锐角A确定时,A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关.过渡语在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等的,在下图中,上述结论是否还正确呢?【课件展示】如图所示,已知EAF<90°,BCAF,B'C'AF,垂足分别为C,C'.BCAC与B'C'AC'具有怎样的关系?【师生活动】学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现问题,及时帮助解决问题.追问:根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论?【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论.【课件展示】在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当A(小于90°)确定时,以A为锐角的RtABC的两条直角边的比BCAC是确定的.设计意图通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时,它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交流的能力.形成概念过渡语在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与邻边的比是固定值,那么这个固定值被定义为什么呢?【课件展示】如图所示,在RtABC中,C=90°,我们把A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=A的对边A的邻边=ab.大家谈谈:(1)A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体?(tan A表示的是一个整体)(2)当A的大小变化时,tan A是否变化?(tan A随着A的大小变化而变化)(3)tan A有单位吗?(tan A是一个比值,没有单位)(4)B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系?tanB=ACBC=ba,tanA·tanB=1(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和邻边)(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评.设计意图在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切的概念、写法和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握.例题讲解(教材105页例1)在RtABC中,C=90°.(1)如图(1)所示,A=30°,求tan A,tan B的值.(2)如图(2)所示,A=45°,求tan A的值.【师生活动】学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤.解:(1)在RtABC中,A=30°,B=60°,且a=12c.b=c2-a2= c2-c22=32c.tan A=tan 30°=ab=12c÷32c=33,tan B=tan 60°=ba=32c÷12c=3.(2)在RtABC中,A=45°,a=b.tan A=tan 45°=ab=1.这样,就得到tan 30°=33,tan 45°=1,tan 60°=3.设计意图学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用,为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.知识拓展1.正切是一个比值,没有单位.2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A.4.当用三个字母表示角时,角的符号“”不能省略,如tanABC.5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2.三、课堂小结：1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,A的对边与邻边的比值是一个固定值.2.正切的定义:在RtABC中,C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=A的对边A的邻边=ab.- 6 -