2011年高考数学 第二章 第六节反函数训练

同步检测训练一、选择题1(2008·全国)若函数yf(x1)的图象与函数yln1的图象关于直线yx对称，则f(x)()Ae2x1Be2xCe2x1 De2x2答案：B解析：函数yln1的反函数为ye2(x1)，即f(x1)e2(x1)，f(x)e2x，故选B.2(2008·北京)“函数f(x)(xR)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：B解析：若函数f(x)在R上为增函数，则x与y一一对应，故存在反函数，必要性成立；若函数f(x)存在反函数，则x与y一一对应，函数f(x)在R上也可能是减函数，充分性不成立，故选B.3函数y的反函数是()Ay ByCy Dy答案：C解析：本题考查求分段函数的反函数y，当x0，x，y.当x<0，x，y.y故选C.4(2009·郑州一测)定义在R上的函数f(x)的反函数为f1(x)，且对于任意xR，都有f(x)f(x)3，则f1(x1)f1(4x)()A0 B2C2 D2x4答案：A解析：由f(x)f(x)3可知函数yf(x)的图象关于点(0，)对称，因此其反函数yf1(x)的图象必关于点(，0)对称，即有f1(x)f1(3x)0，故f1(x1)f13(x1)0，即f1(x1)f1(4x)0，选A.5已知函数f(x)的反函数f1(x)的图象的对称中心是，则函数h(x)loga(x22x)的单调递增区间是()A(1，) B(，1)C(，0) D(2，)答案：C解析：由已知得f(x)1知，其对称中心是点(a1，1)，因此，其反函数f1(x)的对称中心是点(1，a1)，结合题意得a1，a.因此函数h(x)的单调递增区间由确定，由此解得x<0，即函数h(x)的单调递增区间是(，0)故选C.6设函数f(x)的反函数为f1(x)，且f1a，则f(a7)等于()A2 B1C1 D2答案：A解析：当x>4时，f(x)log3(x1)<log35<0；当x4时，0<f(x)2x41.又f1a，因此f(a)>0,2a423，a1，f(a7)f(8)log392.故选A.7已知函数f(x)的反函数为f1(x)，若函数yg(x)的图象与函数yf1(x1)的图象关于直线yx对称，且g(3)，则实数a的值为()A2 B1C1 D.答案：A解析：由题意得f1(x)，f1(x1)，又g(3)，y中的x，y3，代入解得a2，故选A.8(2009·湖北八校联考)已知函数f(x)(exex2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f1(x)，则有()Af1()<f1() Bf1()>f1()Cf1()<f1(2) Df1()>f1(2)答案：A解析：函数f(x)(exex2)ex是一个单调递增函数，f1(x)在(0，)上也是单调递增函数又x<1，f(x)ex<e.2，2<e<3，0<e2<1，(e2)23<0，<2；，2.7<e<2.8，1.2<e<1.3，(e)2>0，>，<<2.在x<1时，函数f(x)(exex2)的值域为(0，)，其中<<2，故选A.二、填空题9(2009·成都模拟)设函数f(x)e2(x1)，yf1(x)为yf(x)的反函数，若函数g(x)则gg(1)_.答案：1解析：依题意得g(1)121，gg(1)g(1)f1(1)设f1(1)t，则有f(t)1，即e2(t1)1，t1，所以gg(1)1.10已知yf(x)在定义域(0，)内存在反函数，且f(x1)x22x1，则f1(7)_.答案：解析：设x1t，则x1t，所以f(t)(t1)22(t1)1t2，即f(x)x2(x>0)，设f1(7)a，则f(a)a27，故a.11(2009·湖北五市联考)函数f(x)的反函数为f1(x)，则f1(18)_.答案：4解析：设f1(18)m，f(m)18，x2218，得x±4，又x0，x4.三、解答题12求下列函数的反函数(1)y(x<1)；(2)y(x1)；(3)yx|x|2x.解：(1)y2，在x<1时为减函数，存在反函数，原函数值域为y|<y<2又由y，得x，故反函数为y(<x<2)(2)x1，y0.由y，得y2x21，x21y2，x1，x(y0)f1(x)(x0)(3)当x0时，yx22x，即(x1)2y1，x1(y0)当x<0时，yx22x，即1y(x1)2.x所求反函数为y13已知函数f(x)abx1(b>0，b1)的图象经过点A(1,3)，函数yf1(xa)的图象经过点B(4,2)，试求f1(x)的表达式解：由f(x)abx1(b>0，b1)得，x1logb(ya)bx1>0，则abx1>a，y>a，f1(x)1logb(xa)(x>a)，f1(xa)1logbx(x>0)点A在f(x)的图象上，点B在f1(xa)的图象上，解得f1(x)的表达式为f1(x)log4(x2)1(x>2)14已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f1(x)，且函数f(x1)的反函数恰为yf1(x1)若f(1)3999，求f(2010)的值解：yf1(x1)，f(y)ff1(x1)xf(y)1.yf1(x1)的反函数为yf(x)1.f(x1)的反函数为yf1(x1)f(x1)f(x)1.f(n)是以3999为首项，1为公差的等差数列，f(2010)3999(20101)1990.15已知函数f(x)(mR，e2.71828是自然对数的底数)(1)求函数f(x)的极值；(2)当x>0时，设f(x)的反函数为f1(x)，对0<p<q，试比较f(qp)、f1(qp)及f1(q)f1(p)的大小解：(1)当x>0，f(x)ex1在(0，)上单调递增，且f(x)ex1>0；当x0时，f(x)x3mx2，此时f(x)x22mxx(x2m)若m0，f(x)x20，则f(x)x3，在(，0上单调递增，且f(x)x30.又f(0)0，可知函数f(x)在R上单调递增，无极值若m<0，令f(x)x(x2m)>0x<0或x>2m(舍去)函数f(x)x3mx2在(，0上单调递增，同理，函数f(x)在R上单调递增，无极值若m>0，令f(x)x(x2m)>0x>0或x<2m.函数f(x)x3mx2在(，2m上单调递增，在(2m,0上单调递减此时函数f(x)在x2m处取得极大值：f(2m)m34m3m3>0；又f(x)在(0，)上单调递增，故在x0处取得极小值：f(0)0.综上可知，当m>0时，f(x)的极大值为m3，极小值为0；当m0时，f(x)无极值(2)当x>0时，设yf(x)ex1y1exxln(y1)f1(x)ln(x1)(x>0)()比较f(qp)与f1(qp)的大小记g(x)f(x)f1(x)exln(x1)1(x>0)g(x)ex在(0，)上是单调递增函数，g(x)>g(0)e00恒成立函数g(x)在(0，)上单调递增g(x)>g(0)e0ln(01)10.当0<p<q时，有qp>0，g(qp)eqpln(qp1)1>0.eqp1>ln(qp1)，即f(qp)>f1(qp)()比较f1(qp)与f1(q)f1(p)的大小ln(qp1)ln(q1)ln(p1)ln(qp1)ln(q1)ln(p1)lnlnlnlnln10<p<q，1>1，故ln1>0.ln(qp1)>ln(q1)ln(p1)，即f1(qp)>f1(q)f1(p)由可知，当0<p<q时，有f(qp)>f1(qp)>f1(q)f1(p)5