材料力学6-弯曲应力.ppt

弯曲应力,第十章,基 本 要 求,1.明确纯弯曲和横力弯曲的概念，掌握推导弯曲正应力公式的方法。 2.熟练掌握弯曲正应力的计算、强度条件及其应用。 3.掌握常用截面梁横截面上最大剪应力计算和弯曲剪应力强度的校核方法。 4.了解提高梁强度的一些主要措施。,10.1 梁的纯弯曲,10.2 纯弯曲时的正应力,10.4 弯曲切应力,10.3 横力弯曲时的正应力,10.5 提高弯曲强度的措施,目 录,10.1 梁的纯弯曲,CD段：,弯矩为常量，剪力为零。,请看一个实例,这种弯曲称为纯弯曲。,AC、DB两段：,这种弯曲称为横力弯曲。,同时存在弯矩和剪力。,因此这种弯曲情况下，很截面上只有正应力,10.2 纯弯曲时的正应力,一、实验观察,（1）变形后，横截面仍保持为平面。但横截面间发生转动。,（2）同一层（高度）的纤维变形相同，即曲率相同。,（3）矩形横截面上宽下窄。,二、两个假设,（1）平面假设,（2）纵向纤维互不挤压假设，即单向拉压。,三、理论分析,1、变形几何关系,中性层：梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。,中性轴：中性层与横截面的交线。, 中性层的曲率半径。,依然从以下三方面来分析：,变形后：,变形前：,即：,由实验观察， 横截面变形后仍保持为平面， 且仍与轴线垂直，=0,求距中性层为 y 处的纤维 的变形：,2、物理关系,由假设（2），知各纵向纤维为单向拉压，所以在弹性范围内有：,说明：,到这一步，我们可推知正应力随y 的变化规律，但还不能确定其值。,该空间力系中,已经自动满足。,另有：,所以由（1）式：,说明中性轴过形心,3、静力学关系,由（2）式：,由于y轴是对称轴，此式自然满足。,由（3）式：,由静力学关系得到,由变形几何关系得到,由物理关系得到,综上分析，可以得到梁纯弯曲时 横截面上的弯曲正应力计算公式：,几 点 说 明,（1）纤维变形及应力都随y的增大而增大。若y为负，则产生压缩变形， 应力为压应力。,（2）公式适用于比例极限范围内 ，外力过主形心惯性平面。,（3）当梁的 l 5h 时，上述公式可以推广到横力弯曲。,（4）、y 的符号由变形来判断。,（5）由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面，而且适用于其它一些 截面，如：T字形梁，工字形梁，圆截面梁，等等。同时我们可以给 出各种梁的正应力分布情况。,（6）一些工程实例： 大桥做成拱状。赵州桥，最早的石拱桥。 水泥预制板，中间做空，下面加筋（钢筋或竹筋） 梁式起重机大梁，箱形截面或工字形截面。,10.3 横力弯曲时的正应力,横力弯曲时，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大正应力,由于切应力对横截面上各点的弯曲正应力影响很小，所以对于横力弯曲仍可以沿用纯弯曲正应力公式：,W称为抗弯截面系数，单位是m3或mm3 。,对于宽为b高为h的矩形截面：,对于直径为d的圆形截面：,限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为：,设t 表示拉应力，c 表示压应力，则：,塑性材料， t= c= ；,工程中，一般对塑性材料选用中性轴同截面对称轴重合的截面形状。对脆性材料，则不将对称轴作中性轴，以充分利用材料的性能，使设计更经济合理。,脆性材料， t c，且t< c,弯曲正应力强度条件的应用：,1、强度校核,2、梁的截面尺寸设计,3、求解许用载荷,e.g.1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 PaPb？,解：,根据题意有,解之得,已知：P=10KN，a=1.2m =10MPa，h/b=2,e.g.2,试：选择梁的截面尺寸。,解：,由对称性，可得：,作弯矩图，,由强度条件,得：,故：,选取截面为：,由图可得：,已知：l=1.2m，=170MPa， 18号工字钢，不计自重。,e.g.3,求：P 的最大许可值。,解：,作弯矩图，,得：,故：,查附录A表4，,由：,由图可得：,解：,作弯矩图，,许用应力为：,很容易求出：,校核强度：,截面A下边缘：,截面A上边缘：,截面C下边缘：,故：满足强度要求,由图可得危险截面弯矩：,e.g.5：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？,解：,主梁AB的最大弯矩,副梁CD的最大弯矩,根据题意有,解之得,e.g.6图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。,解：由题意可知,即,e.g.7：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？,解：,由公式,根据题意有,解之得,该梁的承载能力将是原来的 2 倍。,解：,C点的应力,C截面的弯矩,由,得,e.g.9图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为 t和c，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）,解：,e.g.10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa， 求载荷P的大小。,解：,e.g.11：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,解：,由此得,10.4 弯曲切应力,一、矩形截面梁的切应力,式中：,设距离中性轴为y的横线上切应力为：,若Q已知, 则有:,二、工字形梁的切应力,此部分可近似运用矩形公式，它相当于几个矩形所构成，但矩形梁的条件是：hd 所以仅有腹板可以用.,说明:,（1）腹板最上面的剪应力不等于翼缘最下面的剪应力，翼缘上不能用上述公式。,（2）翼缘最外边缘处剪应力为零，中间部分的剪应力也很小，可忽略，但是水平剪应力却较大，可用开口薄壁杆件的剪应力公式求之,（3）由于hb， ， 因此可以认为腹板上的剪应力大致是均匀分布的，且误差很小。,三、圆截面梁的切应力,（2）同一层在y方向上的分量y为常数.,1、与Q的方向不一致，如外边缘上的方向与切线一致。,假设,（1）同一层的方向如图，而z轴上, 则与Q的方向一致。,式中: Q 横截面上的剪力, Iz 圆截面对中性轴的惯性矩, d 剪应力所在的弦长, Sz* 剪应力所在弦的上方或 下方面积对中性轴的静矩.,由上面的假设，对y 而言，就与对矩形截面所作的假设完全相同。 于是，圆截面梁的剪应力公式可表示为：,max,max一定在中性轴(y=0)上, 其方向和剪力一致,且,误差<5%.,说明：,2、公式,四、弯曲剪应力强度校核,1、弯曲最大剪应力,其中， 是中性轴一边的截面面积对中性轴的静矩。,2、强度校核,中性轴上的受力状态是纯剪，故有,A、梁的跨度较短，或在支座附近有较大载荷； B、铆接或焊接的工字形截面梁，腹板薄，而厚度大； C、薄壁截面梁； D、焊接或胶合而成的组合截面梁，其焊缝或胶合缝需要校核； E、木梁顺纹方向抗剪差。,3、讨论,（1）细长梁的强度控制因素主要是正应力，满足正应力强度的 横截面一般都能满足剪应力强度。,（2）但如下情况需进行梁的剪应力校核：,解：,（1）作剪力图和弯矩图，,（2）选择截面,查附表，选用10号工字钢,由正应力强度条件，得：,由图可得：,（3）校核切应力强度,查附表，对10号工字钢,故：,（4）重新选择截面,查附表，改选用12.6号工字钢,则：,满足切应力强度条件。所以，最后选用12.6号工字钢,6.5 提高弯曲强度的措施,主要以此作为设计梁的依据,从以下两方面来考虑：,（1）合理安排梁的受力情况，以降低Mmax的值；,（2）采用合理的截面形状，以提高W 的值，充分利用材料性能。,1、合理布置支座的位置,一、合理安排梁的受力情况,x=0.207l的时候，最大弯矩减小了83%,a=0.2l的时候，最大弯矩减小了20%,2、合理布置载荷的位置,按下方图的方式最大弯矩减小了25%,1、由应力分布考虑,经济系数：单位横截面积所产生的抗弯性能：,说明（1）矩形梁竖放，而不横放。 （2）截面积尽可能地远离中性轴，不用矩形，而选用工字 形、槽形、或用加强板。,2、由材料的性质看,脆性材料：中性轴靠近受拉边。,塑性材料：中性轴是对称轴。,3、由结构的要求,梁：矩形、工字形、槽形,轴：圆形,二、选择合理的截面形状,三、等强度梁,使任一截面的最大正应力都相等或近似相等，或尽可能地充分利用材料。,横截面尺寸沿着梁轴线变化的梁称为变截面梁。,当梁的各横截面上最大正应力都等于材料的许用应力时，称为等强度梁。,谢谢大家,