判断三角形形状的常用方法

判断三角形形状的常用方法判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。一、配方法例1.（2001年初二“希望杯”第二试）若ABC的三边长是a、b、c,且满足a4二b4,c4b2C2,b4二c4,a4C2a2,c4二a4,b4a2b2，贝iABC是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形解：由条件a4=b4,c4b2c2,b4=c4,a4C2a2,c4=a4,b4a2b2，三式相加得a4,b4,c4a2b2b2C2C2a2=0配方得：12(a2b2)2+(b2c2)2+(c2a2)2=0因为a、b、c是三角形的边长，所以a2b20,b2c20,c2a20得a=b=c，AABC为等边三角形，故选D。例2.（2002年河南省初二数学竞赛）ABC的三边为a、b、c,且满足a2,b2a,15b,3252x,则AABC是（）c2cA. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 以上答案都不对解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得：4a2,4b2,13c28ac12bc0到此思路已经明朗，配方得4(ac)2,(2b3c)20所以ac0且2b一3c0a,b所以ABC是等腰三角形，故选B。二、因式分解例3.（2002年太原市初中数学竞赛）已知a、b、c为三角形的三边，且满足a2,abacbc0,b2,bcbaca0,贝ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形解：把两个条件等式各自因式分解得(ab)(a-c)，0(bc)(b-a)，0因为a>0,b>0,c>0所以ab>0,bc>0所以a一c，0且b-a，0即a，b，c，故ABC是等边三角形，选C三、利用解方程组例4.(2001年初二希望杯第一试)已知ABC中，B，60。,C>ZA,且(C)2，(A)2+(B)2,贝iABC的形状是。解：因为B，60°所以A+ZC，180°B，120°又(C)2，(A)2+(B)2所以(C+A)(C-A)，(B)2，3600°所以CA，30°所以C，75°,A，45°因此ABC是锐角三角形四、放缩法例5.(2001年武汉市初三数学竞赛)ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,贝这个三角形为(这三边上的高依次为h、h、h，若a<h,b<h,abcabA.等边三角形B. 等腰非直角三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰直角三角形解：因为；ah，S2abh即ah，bhab又a<h,b<hab所以a2<ah，bh<h2,得a<habbb显然a>hb所以a，h,且C，Rtb所以b<a同理b，h,a>bc因此a，b且c，Rt即ABC是等腰直角三角形，故选D五、质数分析法例6.(杭州市第三届“求是杯”数学竞赛)锐角三角形中，三个内角的度数都是质数贝这样的三角形()A. 只有一个，且为等腰三角形B. 至少有两个，且为等腰三角形C. 只有一个，但不是等腰三角形D. 至少有两个，其中有非等腰三角形解：设三角形三个内角的度数分别为°、po、,°所以+卩+,180o又、B、,都是小于90的质数，、B、,中必有一个是偶质数2,不妨设=2。,则卩+,178o，这两个的度数必为89。，否则假设一个内角为小于89。的质数，则另一个角的度数将大于90o，与锐角三角形的条件矛盾，故三角度数为2。，89o，89o，选a。六、利用二次方程的判别式、韦达定理例7.(1987年“缙云杯”数学邀请赛试题)已知AABC的三边a、b、c满足b+c8，bca212a+52，试确定AABC的形状。解：因为b+c8，bca212a+52所以b、c是方程x28x+(a212a+52)0的两个根所以A824x(a212a+52)n0即(a6)2<0显然(a6)2>0所以a60，即a68此时方程两根相等bc-42x1所以AABC是等腰三角形例8.(中学生数学2002年第9期初三课外训练题)1已知关于x的方程X22px+p2p+-0的两根是siiA、sinB，其中<A、<B是AABC的内角，试判断AABC的形状。解：因为方程有两个实根sinA、sinB1所以A2p24(p2p+2)>0即(p1)2<0所以p10，即p1此时方程两根相等且sinAsinB-2p2x1224所以AB45。，因此C90。，AABC为等腰直角三角形。#