高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案

高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和：性质： （1）若，则（2）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意公比）性质：是等比数列（1）若，则3求数列通项公式的常用方法一、公式法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。二、累加法 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例3已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则 三、累乘法 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故四、待定系数法（重点）例6 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 五、对数变换法例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设六、迭代法例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以七、数学归纳法例11 已知，求数列的通项公式。（其他方法呢？）解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。八、换元法例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，九、不动点法例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为十、倒数法，求4. 求数列前n项和的常用方法一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、例1求的前n项和.例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.二、错位相减法（等差乘等比） 例3 求和：例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 三、倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 例6 求的值解：设. 将式右边反序得 . （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：，例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求数列的前n项和. 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和. 例11 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性质项）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例13 数列an：，求S2002.解：设S2002由可得 （找特殊性质项）S2002 （合并求和）5例14 在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 10 七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通项及特征） （分组求和）例16 已知数列an：的值.数列练习一、选择题1.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 2.已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.73.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4设是等差数列的前n项和，已知，则等于A13 B35 C49 D 63 5.已知为等差数列，且21, 0,则公差d（A）2 （B） （C） （D）26.等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则数列的前10项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 1907.等差数列的前n项和为，已知，,则（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 8.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和= A B C D9.等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题1设等比数列的公比，前项和为，则 2.设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列3.在等差数列中,则.4.等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= . 数列练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B2.【解析】即同理可得公差.选B。【答案】B3.答案：C【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C4.解: 故选C.或由, 所以故选C.5.【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 Þ d【答案】B6.【答案】B【解析】设公差为，则.0，解得2，1007.【答案】C【解析】因为是等差数列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即（2m1）×238，解得m10，故选.C。8.【答案】A解析设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和9.【答案】B【解析】设公差为，则.0，解得2，100二、填空题1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系【解析】对于 . 2.答案： 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 3.【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. 答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.4.【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，三、大题1.等比数列的各项均为正数，且1）.求数列的通项公式.2）.设 求数列的前项和.2.已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和2*.已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.（）求的通项公式；（）记的前项和为，求.3. 已知数列an满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an（nN+）（1）证明：数列an+1-an 是等比数列；（2）求数列an的通项公式4.已知数列的各项满足：，.(1) 判断数列是否成等比数列；（2）求数列的通项公式5.已知等差数列和正项等比数列， （1）求数列、的通项公式（2）若，求数列的前项和