概率论与数理统计-样本及抽样分布

授课章节第六章 样本及抽样分布目的要求理解总体，样本，样本值，统计量；了解2分布，t分布和F分布，分位数；掌握正态总体的抽样分布等内容重点难点重点：正态总体的某些常用统计量的分布。前五章，主要介绍了概率论的基本概念，掌握了描述随机变量取值规律的方法离散型用分布律、连续型用密度函数。一旦知道了随机变量的取值规律，我们就可以计算这个随机变量满足各个条件的概率。而从第六章开始到第九章进入数理统计部分。它的思想方法是通过“样本”的数据对“总体”的分布或总体的某些未知参数做出“可靠”的推断。当然，在这个过程中，总体的全部或部分是未知的。第一节 随机样本下面，通过一个例子，了解总体、样本、样本值、样本容量等数理统计中的基本概念。例 某灯泡厂，一个季度内生产了一大批灯泡，出厂前要对这批灯泡的质量，比如它的寿命，做比较全面的分析。用X表示灯泡的寿命，显然，随取哪只灯泡的不同，它的寿命也不一样。因此，X是个随机变量。如果，我们知道它的分布，我们就知道这批灯泡的质量。称X为总体 我们所关心的某个数量指标的全体。想全面地了解总体，最好的方法就是“普查”，但普查对有些场合是不现实的。比如，本例中的灯泡的寿命就是如此。即便在某些场合，普查是允许的，但投入过多的人力、物力，而使成本加大不划算。注意，这并不是说，普查都不做，全国的人口普查已做了数次。因此，我们想到了“抽样”，在这批灯泡中随机地抽取n只灯泡，每只灯泡都有自己的寿命值，测试前它们都是随机变量，分别记做X1、X2、Xn 。称X1、X2、Xn为样本 总体中的个体。测试后它们各自取到一批值：x1、x2、xn 。称x1、x2、xn为样本值样本取到的值。 称n为样本容量样本的个数。数理统计就是通过样本对总体做出推断，这就要求样本能够真实地反映总体，样本又是总体中为数不多的个体，那么什么样的样本可以做到这一点呢？就是随机样本。定义：设X为总体，X1、X2、Xn为样本，如果每个样本Xi（i = 1、2、 、n）与总体X的分布相同，即同分布；X1、X2、Xn之间相互独立；则称X1、X2、Xn为简单随机样本。数理统计中所使用的样本就是这种样本。如果记总体X的分布函数为F(x)= P X < x，则（X1，X2，Xn）的联合分布函数为F(x1,x2,xn)= P X1< x1,X2< x2,Xn < xn = F(xi)当总体X是连续型随机变量时，f(x)是它的概率密度，则（X1，X2，Xn）的联合概率密度为f(x1,x2,xn)= f(xi)。第二节 抽样分布样本是统计推断的依据，但在使用时，要对不同的推断目标构造不同的样本函数。例如，要推断总体的均值E(X)时，需构造样本的均值,要推断总体的方差D(X)时，需构造样本的方差等等。由样本构成的函数称为统计量，定义如下。定义 设X1、X2、Xn是来自总体X的一个样本，如果由样本构成的函数 g(X1，X2，Xn)不含有未知的参数，则称为它为一个统计量。因为样本X1、X2、Xn是随机变量，所以g(X1，X2，Xn)也是随机变量。当各个样本取到样本值x1、x2、xn时，对应的统计量g(X1，X2，Xn)取到g(x1，x2，xn)，称g(x1，x2，xn)为统计量g(X1，X2，Xn)的一个观测值。常见的统计量有：样本均值，样本方差 ，,样本标准差 ，样本k阶原点矩 ，样本k阶中心矩 样本值x1、x2、xn是样本X1、X2、Xn的一个随机结果，自然，观测值g(x1，x2，xn)是统计量g(X1，X2，Xn)的偶然值。事实上，我们最后就是用偶然值g(x1，x2，xn)去推断总体的。那么，这个偶然值g(x1，x2，xn)有多大的价值？数理统计的主要工作就是分析这个“偶然值”。表面看，统计量g(X1，X2，Xn)取到观测值g(x1，x2，xn)是偶然的，但它也存在“必然”的成分。下面说明其中的道理。假设两个随机变量、，其中1和2未知。它们的密度函数和图形如下： 10.16 20.08 如果用X的测试值x估计1，用Y的测试值y估计2，从上面的图形可以看出，当可靠性（概率）取相同值（如90%）时，y比x更“接近”它的待估计量。当要求两个“接近”相同时，y比x的可靠性更高。能够得到这些有价值的结论，应归功于我们知道了X和Y的分布。综上所述，我们需要知道统计量g(X1，X2，Xn)的分布。那么，g(X1，X2，Xn)服从什么分布呢？不同的g会有不同的结果。下面给出几种常见的分布，这些分布在统计推断中起着重要的作用。（一）分布(distribution)设为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态分布，则随机变量 服从自由度为的分布，记作分布的密度函数为其中 称为伽马函数，定义为。下图描绘了分布密度函数在n = 1，4，10，20时的图形。分布具有可加性：如果、，则 分布期望和方差：设,则，。分布分位点 对于给定的（ 0 < < 1），称满足条件的数为分布的上分位点。教材后附表的分布表给出分位点，可通过查表得到。如，等等。（二） 分布 ( distribution)设，与独立，则随机变量 服从自由度为的分布( distribution),记成。利用独立随机变量商的密度公式，不难由已知的，的密度公式得到分布的密度： 显然它是的偶函数，下图描绘了n = 2、5时的分布概率密度曲线，作为比较,还描绘了的密度曲线。利用伽马函数的斯特林公式可以证明从图形我们也可看出,随着的增大,的密度曲线与的密度曲线越来越接近，一般若,就可认为它基本与相差无几了。 分布分位点 对于给定的（ 0 < < 1），称满足条件的数为分布的上分位点。教材后附表的分布表给出分位点，可通过查表得到。如， 等等。（三）分布(distribution)设，U与V独立，则随机变量 服从自由度为（,）的分布，记成类似可得，的密度函数为下图描绘了几种分布的密度曲线。由分布的定义容易看出，若，则。分布分位点 对于给定的（ 0 < < 1），称满足条件的数为分布的上分位点。（四）正态总体的样本均值和样本方差的分布在概率统计问题中，正态分布占据着十分重要的位置，这是基于一则在应用中，许多量的概率分布或者是正态分布，或者接近于正态分布；再则，正态分布有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分布，其中最重要的统计量自然是样本均值和样本方差设总体，为总体的样本，则1） 样本均值 ，或 。2） ，其中为样本方差。3）与相互独立。4），其中S为样本标准差。