2018-2019学年高中数学第八章解三角形8.2余弦定理一课件湘教版必修4 .ppt

第8章,解三角形,8.2余弦定理(一),学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.以下问题可以使用正弦定理求解的是 . (1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角. (4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.,(1)(2),2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？,解a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A0)2 b2(sin 2Acos 2A)2bccos Ac2 b2c22bccos A. 得出a2b2c22bccos A.,预习导引 1.余弦定理 三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 的余弦的积的 . 即a2 ，b2 ， c2 .,平方,平方,夹角,两倍,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2.余弦定理的推论 cos A ； cos B ；cos C .,a29a180，得a3或6.,当a3时，由于b3，所以AB30，C120.,A90，C60.,由b<c， C60或120， 当C60时，A90，,当C120时，A30，ABC为等腰三角形. a3.,解由余弦定理知 b2a2c22accos B.,0<A<180，A60，C75.,0<A<180，A120，C15.,规律方法已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.,跟踪演练1在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边长c. 解5x27x60可化为(5x3)(x2)0.,c4，即第三边长为4.,A60.,B45，C180AB75.,规律方法(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.,跟踪演练2在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长.,即所求AC边上的中线长为7.,即a2b2c2. ABC是直角三角形.,方法二在ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理， b2Rsin B，c2Rsin C，,B(AC)，sin (AC)sin Ccos A，,sin Acos C0.A，C都是ABC的内角，A0，A.cos C0，,ABC是直角三角形.,规律方法(1)判断三角形形状的常用手段有两种：一是用余弦定理将已知条件转化为边之间的关系式，二是借助于正弦定理，将已知条件转化为角的三角函数关系式. (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.,跟踪演练3在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.,整理得(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，,1,2,3,4,A,1,2,3,4,B,1,2,3,4,解析abc，C为最小角，,B,1,2,3,4,课堂小结 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形. 2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系,或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简. 3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.,(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.,