含有绝对值的不等式的解法

含有绝对值的不等式的解法 【学习目标】1使学生掌握axbc与 axbc(c0)型的不等式的解法2使学生能够利用数形结合，分类讨论，方程与化归的思想解一些简单的绝对值不等式【学习障碍】1对绝对值的几何意义理解不到位2对于axbc与axbc(c0)两种类型的不等式的解法分辨不清3学生对数轴的利用率不够高【学习策略】学习导引1预习课本P14152本节课的重点是xa与xa(a0)；axbc与axbc(c0)型不等式的解法，难点是对绝对值几何意义的理解关于本节的知识点有以下几个：(1)一般地，不等式xa(a0)的解集是：xaxa(2)不等式xa(a0)的解集是xxa或xa(3)其推论为：axbc(c0)的解为：caxbcaxbc(c0)的解为axbc或axbc知识拓宽1不等式axb(ba0)的解法图111 可以利用绝对值在数轴上的意义直接得出axb或bxa也可以利用不等式组来解例1解不等式12x15思路一：这是一个双连不等式，利用绝对值在数轴上的意义可以得出12x15或52x11，从而求出不等式的解解：原不等式等价于12x15或52x11，即：22x6或42x0 解得：1x3或2x0故原不等式的解集为x2x0或1x3思路二：将原不等式转化为进而求出与不等式解集的交集解：原不等式等价于即或不等式组的解为1x3 不等式组的解为2x0故原不等式的解集为x2x0或1x3误区点评：在进行原不等式等价转化时，容易发生以下失误在第一种解法中，将不等式转化为12x15或12x15，在第二种解法中，将不等式转化为2含有两个或两个以上的绝对值号的不等式的解法例2解不等式x3x38思路一：这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，应进行分类讨论解：令x30，x30，得x3或3，解得：x4，解得：，解得：x4取的并集得原不等式的解为x4或x4点评：解这类绝对值符号里是一次式的不等式如：xaxbc或xaxbc，xaxb或xaxb常用“零点分段法”其一般步骤为：(1)分别求出每个绝对值为零的根，称之为零点；(2)将各零点在数轴上标出来，它们将数轴分成若干段；(3)依次对各段上的x进行讨论，求出相应所得不等式的解集；(4)取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集思路二：利用函数的图象解题解：分别画出y1x3x3与y28的图象图112y1由图象观察可知：要使y1y2，只须x4或x4原不等式的解集为xx4或x4思路三：利用绝对值的几何意义解题解：x3x38图113表示数轴上与A(3)，B(3)两点距离之和大于8的点，而AB6，如图112因此，要找与A、B距离之和为8的点，只须由点B右移1个单位，或点A左移一个单位，如图113由图象可得：原不等式的解集为xx4或x4点评：对于形如xaxbc，xaxbc，或xaxb的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左右两边的图象去解不等式，更为直观，简捷3解关于x的绝对值不等式axbc(a0)例3解不等式axbc(a0)解：当c0时，解集为R当c0时，得axbc或axbc，即：axcb或axcb()a0时，不等式的解集为xx或x()a0时，不等式的解集为xx或x当c0时，不等式的解集为xxR且x点评：在解含有字母的绝对值不等式时，要讨论字母的取值范围，考虑全面例4解不等式x12x思路一：对2x的取值分类讨论(1)当2x0时，(x1)2(2x)2得x2(2)当2x0时，不等式恒成立x2不等式的解集为xx思路二：对x1的取值进行分类讨论解：原不等式等价于： 或得：x或 不等式的解集为xx思路三：利用等价形式解：原不等式等价于x12x或x1x2，得x或不等式解集为xx点评：对于xa(a0) xa或xa可推广为：f(x)，g(x)是关于x的代数式则f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x)g(x)可正也可负；同理：xa(a0)也可推广到f(x)，g(x)障碍分析1如何理解绝对值的几何意义？实数的绝对值，设aR，则a其几何意义是：a表示数轴上的点到原点的距离例5求不等式x23的解集思路：利用绝对值的几何意义求解x2的几何意义是x在数轴上的对应点到2的对应点之间的距离图114解：x2的几何意义是x在数轴上的对应点之间的距离，因而，x23的解集是数轴上到2的对应点的距离小于3的点所对应的数组成的集合即x1x5如图114点评：对于这类题，关键在于正确地揭示问题的背景，实施正确的转化，还应注意端点是否能取到2axbc和axbc(c0)的解有何区别？类 型化去绝对值后集合上解的意义区别axbccaxbcxaxbcxaxbc，交集axbcaxbc或axbcxaxbcxaxbc，并集3利用数轴时应注意的几个问题：注意端点值能否取到“或”，端点值取不到，对应在数轴上用“”表示；“或”端点值能取到，对应在数轴上，用“·”表示，反之亦然何时取“”，何时取“”?且的时候取交，或的时候取并，如：1x23等价于x23且x21，最后两个不等式的解集应取交集而3x23等价于3x23或3x23，最后应取其并集思维拓展例6若不等式x43xa的解集是空集，求a的取值范围思路一：直接进行分类讨论解：当a0时，不等式x43xa的解集是空集当a0先求不等式x43xa有解时a的取值范围令x40，3x0，得x4，x3()当x4时，x4x3a，即：2x7a4x，a1()当3x4时，有4xx3a，即a1()当x3时，有4x3xa，即72xaa3，a1综合()()()可知当a1时，原不等式有解从而当0a1时，原不等式的解集为由两种情况可知不等式x43xa的解集是空集，a的取值范围是a1点评：对于a0的情况下，解答不等式x43xa解集为空集，求a的取值范围比较困难，常常转化为求“不等式x43xa有解时a的取值范围”这样就转化为我们熟悉的问题，使难度大大降低，这是补集思想的一种体现思路二：利用图象来解，把x43xa的解集为问题转化为y1x43x的图象与y1a的图象无交点问题图115解：令y1x43x则y1 作出其函数的图象由图象观察可知当a1时y2a与y1的图象无交点即：x43xa的解集为点评：这种把求解问题转化为图象的交点问题或转化成求x3x2的最小值问题，体现了一种化复杂为简单，化一般为特殊的思想方法，这也是解决数学问题的一般方法思路三：利用绝对值的几何意义，转化为求数轴上两点间的最小距离解：令yx43xx4x3图116则y表示数轴上x对应点与4，3对应点的距离之和y的最小值为431ay的解集为空集时，a1探究学习设Ax2x13，Bxx21，满足下列条件的集合C是否存在，若存在求出，不存在说明理由C(AB)Z；C中有三个元素；CB【同步强化练习】一、选择题1当a0时，axb的解集为Axx Bxx CR D 2不等式2x1的解集是Axx3 Bxx1或x3 Cxx1 Dx1x33若不等式2xbc的解集是x4x6，则b、c的值分别为A2，10 B1，5 C2，10 D1，54不等式2x123x的解集为A(，)(1，) B(， ) Cxx或x Dx3x二、填空题5不等式x2x37的解集是_6不等式52x520的解集是_7若有意义，则x的取值范围是_三、解答题8已知集合Axx1c，c0，Bxx34且AB，求c的取值范围9解关于x的不等式ax12a 【同步强化练习答案】一、1A 提示：因a0，所以axb，除以a时要变号，所以xx2D 提示：因2x1等价于x21所以1x21，即1x33A 提示：因为2xbcc2xbc，即：x，所以6，4，解之：b2，c104B 提示：原不等式等价于3x22x123x即解之：x，原不等式的解集为xx二、5xx4或x3 提示：不等式x2x37的等价式为：解之：x4或x3，所以不等式的解集为：xx4或x36x5x或x0 提示：原不等式等价于52x520或202x55，解之：5x或x0，所以原不等式的解集为x5xx07xx或x且x± 提示：由题所以x的取值范围：xx或x且x±三、8解：Axx1c(c0) x1cx1c，c0Bxx34xx1或x7AB，解之：0c29解：当a0时，原不等式可化为x11x11或x11原不等式的解集为xx2或x当a0时，原不等式化为02，矛盾，此时不等式的解集为当2a0时，原不等式化为x1110，原不等式的解集为当a2时，原不等式可化为x11(10)1x11原不等式的解集为xx2综上可知：当a2时，原不等式的解集为：xx2或x；当a2时，原不等式的解集为xx2当2a0时，原不等式的解集为