2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(文科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合Ax|1<x<2，集合Bx|1<x<3，则AB()Ax|1<x<3Bx|1<x<1Cx|1<x<2 Dx|2<x<32设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x()A2 B3C4 D63某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A抽签法 B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法4设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5下列函数中，最小正周期为的奇函数是()AysinBycosCysin 2xcos 2xDysin xcos x6执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A B.C D.7过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2C6 D48某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时9设实数x，y满足则xy的最大值为()A. B.C12 D1610设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1，3) B(1，4)C(2，3) D(2，4)第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11设i是虚数单位，则复数i_12lg 0.01log216的值是_13已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_14在三棱柱ABC­A1B1C1中，BAC90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P­A1MN的体积是_15已知函数f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR)对于不相等的实数x1，x2，设m，n.现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.17(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率18(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF平面BEG.19(本小题满分12分)已知A，B，C为ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2pxp10(pR)的两个实根(1)求C的大小；(2)若AB3，AC，求p的值20(本小题满分13分)如图，椭圆E：1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由21(本小题满分14分)已知函数f(x)2xln xx22axa2，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解 (四川卷)(文科)参考答案与详解本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1解析：选A如图，ABx|1<x<32解析：选Bab，2×64x0，解得x3.3解析：选C根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法4解析：选Aylog2x(x>0)为增函数，当a>b>1时，log2a>log2b>0；反之，若log2a>log2b>0，结合对数函数的图象易知a>b>1成立，故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件5解析：选BA项，ysincos 2x，最小正周期为，且为偶函数，不符合题意；B项，ycossin 2x，最小正周期为，且为奇函数，符合题意；C项，ysin 2xcos 2xsin，最小正周期为，为非奇非偶函数，不符合题意；D项，ysin xcos xsin，最小正周期为2，为非奇非偶函数，不符合题意6解析：选D当k5时，输出Ssinsinsin.7解析：选D由题意知，双曲线x21的渐近线方程为y±x，将xc2代入得y±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.8解析：选C由已知条件，得192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k.设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192×24.9解析：选A不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示令Sxy，不妨设在点M(x0，y0)处S取得最大值，且由图象知点M(x0，y0)只可能在线段AD，AB，BC上(1)当M(x0，y0)在线段AD上时，x02，0，此时Sxy0；(2)当M(x0，y0)在线段AB上时，x00，2，Sxyx·x7x(x7)2，当x02时，Smax(27)212；(3)当M(x0，y0)在线段BC上时，x02，4，Sxyx·(102x)2x210x2，当x0时，Smax.综上所述，xy的最大值为.10解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5rcos ，rsin )则两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条当直线l的斜率存在时，可得2rsin (y1y2)4(x1x2)kAB.又kMC.kAB.r>2.由于M在抛物线的内部，(rsin )2<4(5rcos )204rcos 204×(2)12.|rsin |<2.|rsin |r·<2r2<160<r<4.因此2<r<4.第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11解析：iiii2i.答案：2i12解析：lg 0.01log216lglog224242.答案：213解析：由sin 2cos 0，得tan 2.所以2sin cos cos21.答案：114解析：由三视图易知几何体ABC­A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VP­A1MNVA1­PMNVA­PMN.又SPMNMN·NP××1，A到平面PMN的距离h，VA­PMNSPMN·h××.答案：15解析：对于，由f(x)2x的单调性可知f(x)2x在其定义域上单调递增，则有m>0，故正确对于，由g(x)x2ax的单调性可知g(x)x2ax在其定义域上先减后增，则存在n<0的情形，故错误对于，由mn，得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令H(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得H(x)2xln 22xa.令H(x)0，得2xln 22xa.(*)图(1)由图(1)易知，当a很小时，两图象无交点，故方程(*)无解，所以不一定存在x1，x2使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故不正确对于，由mn，得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令F(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得F(x)2xln 22xa，令F(x)0，图(2)得2xln 22xa.(*)由图(2)易知，两图象必有交点，故方程(*)必有解，所以一定存在x1，x2使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16解：(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12.所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)得，所以Tn1.17解：(1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：于是，所有可能的坐法共8种设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P(A).故乘客P5坐到5号座位的概率是.18解：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH.证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BCFG，BCFG.又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG.同理DFBG.又EGBGG，所以DF平面BEG.19解：(1)由已知，方程x2pxp10的判别式(p)24(p1)3p24p40，所以p2或p.由根与系数的关系，有tan Atan Bp，tan Atan B1p，于是1tan Atan B1(1p)p0，从而tan(AB).所以tan Ctan(AB)，所以C60°.(2)由正弦定理，得sin B，解得B45°或B135°(舍去)于是A180°BC75°.则tan Atan 75°tan(45°30°)2.所以p(tan Atan B)(21)1.20解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.21解：(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1ln xa)，所以g(x)2.当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)证明：由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1ln x.令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1ln x)22xln x，则(1)10，(e)2(2e)0，于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0，1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.再由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，f(x)<0，从而f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xln x0.故x(0，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解