不等式与不等式组知识点与测验

ï不等式的解不等式相关概念ïï不等式的解集ïï一元一次不等式不等式的性质í性质 2ïï性质 3ïî一元一次不等式 (组 )与实际问题一、知识结构图不等式与不等式组二、知识要点不等式与不等式组ì                  ì不等式ï                  ïïíïîïï ì性质 1í               ïïîï                    ì不等式组ï一元一次不等式组  íï                    î一元一次不等式组的解  法ï（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“”“”“”“”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括：  、  、  、  、  。2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：画数轴定界点定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。1 / 17（二、）不等式的基本性质不等式性质 1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。用字母表示为：如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c ；如果 a < b ，那么 a ± c < b ± c ；不等式的性质 2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。用字母表示为： 如果 a > b, c > 0 ，那么 ac > bc (或 a > b )；如果 a < b, c > 0 ，cc不等号那么 ac < bc (或 a < b )；cc不等式的性质 3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。用字母表示为： 如果 a > b, c < 0 ，那么 ac < bc (或 a < b )；如果 a < b, c < 0 ，cc那么 ac > bc (或 a > b )；cc解不等式思想就是要将不等式逐步转化为 xa 或 xa 的形式。（注：传递性：若ab,bc,则ac. 利用不等式的基本性质可以解简单的不等式）（三、）一元一次不等式2 / 171、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、任何一个一元一次不等式都可以化为最简形式： axb 或 axb （a0）的形式。3、解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；1合并同类项；系数化为 （特别要注意不等号方向改变的问题）。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。（四、）一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1。2、使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。3、不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。3 / 174、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组的一般步骤：分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；利用数轴表示出各个不等式的解集；找出公共部分；用不等式表示出这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。6、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。（五、）一元一次不等式（组）的应用一般方法步骤：（1）审：分析题意，找出不等关系；（2）设：设未知数；（3）列：列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）检验：从不等式组的解集中找出符合题意的答案；（6）答：写出问题答案。4 / 171、不等式与不等式组不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。3、一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。4、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。5、一元一次不等式解题的一般步骤 ：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，5 / 17不等号改向别忘了6、一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大、大小取中间，小小、大大无处找7、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集通常有如下四种类型（其中 ab）不等式组数轴表示解集顺口溜x>axb大大取较大x>bx<axa小小取较小x<bx>a大小、小大axbx<bx<a中间找大大、小小无解x>b解不了2已知关于 x 的不等式组 í        无解，则 a 的取值范围是         。5 - 2 x ³ -13不等式组 í 1      的整数解为           。ïî 2练习题一1已知不等式 3x-a0 的正整数解恰是 1，2，3，则 a 的取值范围是。ìx - a > 0îì2 x + 4 £ 0ïx + 2 > 04如果关于 x 的不等式（a-1）x<a+5 和 2x<4 的解集相同，则 a 的值为。6 / 17ì x + 4  xï>+ 15 已 知关于 x 的 不等 式组 í 32ïî x + a < 0的 解 集为 x < 2 ， 那么 a 的 取值 范围是。6当 x时，代数式 2 x + 5 的值不大于零7.若 x <，则 - 2 x + 2（用“>”“=”或“”号填空）8.不等式 7 - 2 x >，的正整数解是9.不等式 - x > a - 10 的解集为 x <，则 a10.若 a > b > c ，则不等式组 ïìx f aíx f b的解集是11.若不等式组 ì2x - a p 1 的解集是< x <，则 (a + 1)(b + 1) 的值为îx - 2b f 3îïx p cí12.有解集< x <的不等式组是（写出一个即可）13.一罐饮料净重约为g，罐上注有“蛋白质含量 f 0.6 ”其中蛋白质的含量为 _gí14. 若不等式组 ìx f a 的解集为 x >，则 a 的取值范围是îx f 3练习题二一、 判断题（每题 1 分，共 6 分）1、 ab，得 ambm（）2、 由 a3，得 a 32（    ）4、 由  13、 x = 2 是不等式 x34 的解（）a1，得a（）225、 如果 ab，c0，则 ac2bc2（）6、 如果 ab0，则 ab1                         （    ）7 / 17  a4、代数式  1二、 填空题（每题 2 分，共 34 分）1、若 ab，用“”号或“”号填空：a5b5；b；12a12b；6a6b；222、x 与 3 的和不小于6，用不等式表示为；3、当 x时，代数式 2x3 的值是正数；x2x 的不大于 8的值，那么 x 的正整数解是；425、如果 x75，则 x；如果x20，那么 x        ；6、不等式 axb 的解集是 x ba，则 a 的取值范围是           ；D í     1ïîA不等式组 íì x > 3,C í    的解集是 x=2            D í     的解集是 x3x £ 2                            x > -37、一个长方形的长为 x 米，宽为 50 米，如果它的周长不小于 280 米，那么 x 应满足的不等式为；练习题三一、选择题1下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）ì x > 2,ì x + 1 > 0,ì3x - 2 > 0,A  íB  íC  íî x < -3î y - 2 < 0î( x - 2)(x + 3) > 0ì3x - 2 > 0,ïx + 1 >x2下列说法正确的是（）ì x > -2,的解集是 5<x<3B í的解集是3<x<2î x > 5î x < -3ì x ³ 2,ì x < -3,îî8 / 173不等式组 íìï2x >- ,3的最小整数解为（ ）ïî x - 4 £ 8 - 2 xA1B0C1D44在平面直角坐标系中，点 P（2x6，x5）在第四象限，则 x 的取值范围是（）A3<x<5B3<x<5C5<x<3D5<x<3ì5不等式组 í x - 2 > 0,î x - 3 < 0的解集是（ ）6若不等式组 í    有解，则 m 的取值范围是_x > mAx>2Bx<3C2<x<3D无解二、填空题ì x < 2,î7已知三角形三边的长分别为 2，3 和 a，则 a 的取值范围是_8将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分 4 个橘子，则剩下 9 个橘子； 如果每人分6 个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于 3 个，由以上可推出，共有_个儿童，分_个橘子ì9若不等式组 í x - a > 2,îb - 2x > 0三、解答题10解不等式组的解集是1<x<1，则（a+b）2006=_ìï2x31，（1） í x 1 + x                   （2）íx1-    < 0   (2)                ïî   2   2xì2( x - 2) £ x - 4, (1)ïîï 329 / 17ì11若不等式组 í x < m + 1,î x > 2m -1无解，求 m 的取值范围的不等式组í           12、若关于 xìï52x1，无解，则îïxa2a 的取值范围是_ìïxa0，13 、已知关于 x 的不等式组 í的整数解共有îï32x15 个，则 a 的取值范围是_易错点分析：易错点 1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分例 1ìïx10，解不等式组íïîx20ïî   352        错解：由，得 x1，由，得 x2，所以不等式组的解集为2x1错因剖析： 解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成 1x2 或2x1 等，这些都是错误的正解：由，得 x1由，得 x2，所以此不等式组无解易错点 2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”ìï5x1263x， 例 2 解不等式组í4x2(1x)310 / 1733错解：解不等式，得 x4解不等式，得 x5由于 x4的范围较大，3所以不 等式组的解集为 x4错因剖析： 本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设 ab），ìïxa， íîïxb，ìïxa， íîïxb，ìïxa，íîïxb，ìïxa，íîïxb利用数可确定它们的解集分别为 xb，xa，axb，空集也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”3正解：解不等式，得 x4解不等式，得 x5所以不等式组的解集为 x5易错点 3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法ìïx2(x3)11，例 3 解不等式组í22ïî3x2(x3)3错解：由，得 2x14，即 x7，所以不等式组的解集为 x7错因剖析： 本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（ 1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（ 2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最11 / 17后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集334正解：由不等式，得2x17，即 x 3 76由不等式，得2x3，即 x7346所以原不等式组的解集为 3 x7易错点 4：在去分母时，漏乘常数项ìï2x31，例 4解不等式组íx1ïî 2 2x错解：由，得 x2在 x212x 的两边同乘 2，得 x122x于是11有 x3，所以原不等式组的解集为 2x3错因剖析： 解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“”连接x1正解：由，得 x2在 2 2x 的两边同乘 2，得 x142x于是有x1，所以原不等式组的解集为1x2易错点 5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错1例 5 解关于 x 的不等式（2a）x12a错解：去分母，得(12a)x2(12a)将不等式两边同时除以（12a），得 x212 / 17ïî5ba10，错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号本例中不等式两边同乘(或除以)的(12a)，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错正解：将不等式变形，得(12a)x2(12a)1（1）当 12a0 时，即 a2时，x2；1（2）当 12a0 时，即 a2时，不等式无解；1（3）当 12a0 时，即 a2时，x210例 6如果关于 x 的不等式(2ab)xa5b0 的解集是 x 7 ，则关于 x 的不等式axb 的解集是_105ba10   错解：因为不等式（2ab）xa5b0 的解集是 x 7 ，所以2ab 7 ，则有ìï2ab7，íïìa5，解得í从而知ïîb33axb 的解集是 x5错因剖析： 本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取ïïì2ab7，ìa5，值范围，所以在解题时错误得出í解得í从而错误得到îîï5ba10，ïb33是 x5axb 的解集13 / 17正解： 由不等式（ 2ab）xa5b0  的解集是  x 7 ，得 í5ba10 解得íb3所以 axb 的解集是 x  ïîa510ìï2ab0，ïî2ab 7 ，ìïa0，35易错点 6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况ìï52x1，例 7 若关于 x 的不等式组 íîïxa2无解，则 a 的取值范围是ïîxa                  a 的取值范围是 a_ïïì52x1，ìx3，错解：由í得í又因为不等式组无解，所以îïxa0，3错因剖析： 由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即 a3，有 x3 及 x3，而此时不等式组也是无解的因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况ìï52x1，ìïx3，正解：由í得í又因为不等式组无解，所以 a 的取值范围是 aîîïxa0ïxa3ìïxa0，例 8已知关于 x 的不等式组í的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是îï32x1_ïïìxa0，ìxa，错解：由í解得í又因为原不等式组的整数解共有 5 个，所以 axîîï32x1ïx22，这 5 个整数解为3，2，1，0，1，从而有 a3(或 a3)14 / 17错因剖析： 本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解上述解法错在忽视 ax2 中有 5 个整数解时，a 虽不唯一，但也有一定的限制，a 的取值范围在3 与4 之间，其中包括3，但不应包括4，所以错解在确定 a 的取值范围时扩大了解的范围ïïìxa0，ìxa，正解：由í解得í又因为原不等式组的整数解共有 5 个，所以 axîîï32x1ïx22又知这 5 个整数解为3，2，1，0，1故 a 的取值范围是4a3总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这 6 个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊模拟试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）1（2002昆明）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）ACBD2（2002重庆）已知，关于 x 的不等式 2xa3 的解集如图所示，则 a 的值等于（）A0B1C1D23（2004日照）已知关于 x 的不等式组无解，则 a 的取值范围是（）15 / 17Aa1Ba2C1a2Da1，或 a24不等式 axa 的解集为 x1，则 a 的取值范围是（）Aa0Ba0Ca0Da05如果 mn0，那么下列结论不正确的是（）Am9n9BmnCD6关于 x 的方程 5x+12=4a 的解都是负数，则 a 的取值范围（）Aa3Ba3Ca3Da37若|3x2|=23x，则（）Ax=BxCxDx8（2011菏泽）某种商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于 5%，则至多可打（）A6 折B7 折C8 折D9 折二、填空题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分）9 已知关于x 的不等式组的整数解有 5 个，则 a 的取值范围是_10某商品的售价是 150 元，这种商品可获利润 10%20%，设这种商品的进价为 x元，则 x 的值范围是_11满足 x53x+1 的 x 的最小整数是_12如果三个连续自然数的和不大于 9，那么这样自然数共有_组13  已 知 2x  y=0 且 x  5  y ， 则 x ， y 的 取 值 范 围 分 别 是_；_14若 a0，则不等式 axb 的解集是_15若不等式组_无解，则 m 的取值范围是16 / 1716不等式组的整数解为_17当 a0 时，不等式组的解集是_三、解答题（共 7 小题，满分 61 分）18解不等式，并把解集在数轴上表示出来19求不等式组的整数解20代数式的值是否能同时大于代数式 2x+3 和 1x 的值？说明理由5621若不等式 （x2）+8 （x1）+7 的最小整数解是方程 2xax=3 的解，求的值22. （2001 陕西）某城市的一种出租车起步价为 10 元（即行驶 5 千米以内都需付款10 元车费），达到或超过 5 千米后，每增加 1 千米加价 1.2 元（不足 1 千米按 1 千米计算），现某人乘这种出租车有甲地到乙地，支付车费 17.2 元求甲、乙两地的路程17 / 17