[文]阶段质量检测(八)平面解析几何doc

阶段质量检测 (八 )平面解析几何(时间 120 分钟，满分150 分 )第卷(选择题，共50 分)一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线 y2 ax(a 0)的焦点到其准线的距离是()|a|B.|a|C |a|D aA. 422|a|解析： 由已知焦点到准线的距离为p 2 .答案： B2过点 A(4，a)与 B(5 ，b)的直线与直线yx m 平行，则 |AB|()A 6B. 2C 2D不确定b a解析： 由题知 1， b a1.5 4 |AB| (5 4) 2 (b a) 2 2.答案： Bx2y223已知双曲线 4 12 1 的离心率为 e，抛物线x 2py的焦点为 (e,0)，则 p 的值为 ()11A 2B 1C. 4D.162111解析： 依题意得e 2，抛物线方程为y 2px，故8p 2，得 p16.答案： D22 4x 2y80 的周长， 则12的4若直线 ax 2by 2 0(a 0，b 0)始终平分圆 x yab最小值为()A 1B 5C4 2D32 2解析： 由 (x 2)2 (y 1)2 13，得圆心 (2,1)， 直线平分圆的周长，即直线过圆心 a b 1.1212b2a3 22， ( )(a b) 3 bababab2a当且仅当 a b ，即 a2 1， b22时取等号，1 2 a b的最小值为 3 2 2.答案： D5 ABC 的顶点 A( 5,0)， B(5,0) ， ABC 的内切圆圆心在直线x 3 上，则顶点 C 的轨迹方程是()22B. x22A.x y 1y 191616922D. x22C.x y 1(x 3) y 1(x 4)916169解析： 如图 |AD | |AE| 8， |BF |BE| 2， |CD| |CF |，所以 |CA| |CB|8 2 6.x2根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B 为焦点， 实轴长为6 的双曲线的右支，方程为 9 y216 1(x 3)答案： Cx2y2y5e6双曲线 22 1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为5x(e 为双曲线离心率 )，则有 ()abA b 2aB b 5aC a2bD a 5bb 5解析： 由已知 a 5 e，b5c2225× ， c5b，又 a b c ，aa a2 b2 5b2， a2b.答案： C7抛物线 y 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是()1715C 1517A.16B.1616D 16解析： 准线方程为 y1 ，16115由定义知16 yM 1? yM16.答案： C228 (2009 全·国卷 )双曲线 x y 1 的渐近线与圆 (x 3)2 y2 r2(r>0) 相切，则 r ()63A. 3B 2C 3D 6解析： 双曲线的渐近线方程为y ±1x即 x± 2y 0 ，圆心 (3,0) 到直线的距离d2|3| 3.( 2)2 1答案： A229 (2009 四·川高考 )已知双曲线x y2的左、右焦点分别为 F 1、 F，其一条渐近线2b 1(b>0)2方程为 y x，点 P(3，y0)在该双曲线上，则PF1 ·PF2 ()A 12B 2C 0D 4解析： 由渐近线方程yx 得 b 2，22中得 0 ±1.点 P( 3， y0 代入 x y21)2by不妨设 P(3， 1)， F 1(2,0)， F 2( 2,0)， PF ·PF (23， 1) ·( 2 3， 1)12341 0.答案： C10(2009 天·津高考 )设抛物线 y2 2x 的焦点为 F ，过点 M (3，0)的直线与抛物线相交于A、S BCF B 两点，与抛物线的准线相交于点C， |BF | 2，则 BCF 与 ACF 的面积之比 S ACF()42C.41A.5B.37D.2解析：如图过A、 B 作准线 l： x=- 1的垂线，垂足分别为A，B，211由于 F 到直线 AB 的距离为定值S BCF|BC| |CA|.S ACF又 B1BC A1AC. |BC|BB1|CA|AA1|，|BB1|BF| 2由拋物线定义 |AA1| |AF |AF |.由 |BF | |BB12知 B 3， yB3，|x23 AB： y 03(x 3) 3 2y2把 x 2 代入上式，求得yA 2， xA2， |AF | |AA1| 52.|BF|24故 S ACF |AF | 55. 2答案： A第 卷(非选择题，共100 分 )二、填空题 (本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分请把正确答案填在题中横线上)x2211若双曲线 a2 y 1的一个焦点为(2,0) ，则它的离心率为 _解析： 由 a2 14， a3，2 2 3 e 3 3 .答案： 23312已知点 ( x0， y0)在直线 ax by 0(a， b 为常数 )上，则( x0 a)2 (y0 b)2的最小值为_解析：(x0 a)2 (y0 b)2可看作点 (x0，y0)与点，b)的距离而点0， y0在直线( a(x)axby 0 上，所以|a·a b·b|(x0 a)2 (y0 b)2的最小值为点 ( a，b) 到直线 ax by 0 的距离a2 b2 a2 b2.答案： a2 b213 (2009 福·建高考 )过抛物线 y2 2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB 的长为 8，则 p _.解析： 由焦点弦 |AB|2p2p，2 得2sin |AB|sin 45°1 2p |AB|× ， p 2.2答案： 214直线 l 的方程为 y x 3，在 l 上任取一点 P，若过点 P 且以双曲线12x2 4y2 3 的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为_解析： 所求椭圆的焦点为F 1( 1,0)，F 2(1,0),2a |PF 1 | |PF 2|.欲使 2a 最小，只需在直线l 上找一点 P，使 |PF 1| |PF 2|最小，利用对称性可解答案： x2 y2 15415过抛物线 y2 2px( p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为 B，点 A 在抛物线准线上的射影为C，若 AF FB ， BA ·BC 48，则抛物线的方程为 _解析： 设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意， F 为线段 AB 的中点，故 |AF | |AC| 2|FD | 2p，|AB|2|AF | 2|AC| 4p， ABC30°， | BC |23p，BA ·BC 4p·2 3p·cos30 ° 48，解得 p 2， 抛物线的方程为y2 4x.答案： y2 4x三、解答题 (本大题共6 小题，共75 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )16 (本小题满分12 分 )已知：圆C： x2 y2 8y 12 0，直线 l： ax y 2a 0.(1) 当 a 为何值时，直线l 与圆 C 相切；(2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、 B 两点，且 AB 2 2时，求直线 l 的方程解：将圆 C 的方程 x2 y2 8y 12 0 配方得标准方程为x2 (y 4)2 4，则此圆的圆心为 (0,4) ，半径为 2.(1) 若直线 l 与圆 C 相切，则有|4 2a| 2.a2 13解得 a 4.(2) 过圆心 C 作 CD AB，则根据题意和圆的性质，|4 2a|CD，a2 1得 CD2 DA 2 AC2 22，1DA 2AB2.解得 a 7，或 a 1.故所求直线方程为7x y 14 0 或 xy 2 0.17(本小题满分12 分 )过点 P(2,4) 作两条互相垂直的直线l1、l2，若 l 1 交 x轴于 A 点， l2 交 y 轴于 B 点，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程解： 设 M 的坐标为 (x， y)，则 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0)， (0,2y)，连结 PM，l1 l2 ，2|PM |=|AB|.而 |PM| = ( x2)2( y4)2 ，|AB|= (2 x) 2(2 y)2 ,2 ( x 2)2( y 4)24x 24 y2 .化简，得x+2y-5=0 即为所求的轨迹方程18(本小题满分12 分 )(2010 南·通模拟 )已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L：y 2 相切(1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2) 若 AB 是轨迹 C 的动弦，且 AB 过 F(0,2)，分别以 A、 B 为切点作轨迹 C 的切线，设两切线交点为 Q，证明： AQ BQ.解： (1) 依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点， L： y 2 为准线的抛物线因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x28y.(2) 证明：因为直线 AB 与 x 轴不垂直，设 AB： y kx 2.A(x1， y1) ，B(x2， y2) y kx2，由1 2 y 8x ，可得 x2 8kx 16 0，x1 x2 8k， x1x2 16.1 21抛物线方程为y8x，求导得y 4x.11111所以过抛物线上A、 B 两点的切线斜率分别是k14x1， k24x2，k1k24x1·4x216x1·x2 1.所以 AQ BQ.19(本小题满分12 分 )已知圆 (x 2)2 (y 1)2 20，椭圆 b2 x2 a2y2 a2b2(a>b>0)的离心率32A、 B，且线段 AB 是圆的直径，求椭圆的方程为 2 ，若圆与椭圆相交于解： e ca2b2222a2a2 ， a 2b .因此，所求椭圆的方程为x2 2y22b2，又 AB 为直径， (2,1)为圆心，即(2,1)是线段 AB 的中点，设 A(2 m,1 n)， B(2 m,1n)，则(2 m)22(1 n)2 2b2，82m2 4 4n2 4b2，(2 m)22(1 n)2 2b2，?8m 8n 0，|AB| 2202 m2n2 220332b2 6 m2 2n2，?2210得 2b2 16.m n 3 ，故所求椭圆的方程为x2 2y2 16.20(本小题满分13 分 )已知 A、 B、 D 三点不在一条直线上，且A( 2,0)， B(2,0)， | AD |2， AE 1(ABAD )2(1) 求E 点的轨迹方程；(2) 过A 作直线交以A、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点， 线段MN的中点到y 轴的距离为4，且直线MN 与 E 点的轨迹相切，求椭圆的方程51解： (1) 设 E (x， y)，由 AE 2( AB AD )，可知 E 为线段 BD 的中点，又因为坐标原点O 为线段 AB 的中点，所以 OE 是 ABD 的中位线，1所以 |OE | 2| AD |1，所以 E 点在以 O 为圆心， 1 为半径的圆上，又因为 A， B， D 三点不在一条直线上，所以 E 点不能在 x 轴上，所以 E 点的轨迹方程是x2y2 1(y 0)x2y2 1，直线 MN 的(2) 设 M (x1， y1)， N(x2， y2)，中点为 (x0， y0)，椭圆的方程为 a22a 4方程为 yk( x 2)( 当直线斜率不存在时不成立)，由于直线 MN 与圆 x2 y2 1(y 0)相切，|2k|3所以2 1，解得 k ±3，k 13所以直线 MN 的方程为y ±3 (x2)，将直线 y ± 322代入方程 x2y 1，3 (x2)aa2 4整理可得： 4(a23)x24a2x 16a2 3a40，所以 x0x1 x2a22.2(a2 3)又线段 MN 的中点到 y 轴的距离为4，5a24即 x02(a2 3) 5，解得 a 2 2.x2y2故所求的椭圆方程为8 41.21 (本小题满分14 分 )设椭圆 ax2 by2 1 与直线 x y1 0 相交于 A、B 两点，点 C 是AB 的中点，若 |AB| 2 2， OC 的斜率为2，求椭圆的方程2ax2 by2 1，解：设 A(x1， y1)， B(x2， y2 )，那么 A、B 的坐标是方程组的解x y1 0由 ax21 by21 1， ax22 by22 1，两式相减，得a(x1 x2)(x1 x2) b(y1 y2)(y1 y2) 0，y1 y2 1，因为x1 x2y1 y2a所以 x1 x2 b，2yC ayC a2即 2xC b， xC b2 ，所以 b2a.再由方程组消去 y 得 (ab)x2 2bx b 1 0，由 |AB|(x1x2)2 (y1 y2) 22(x1 x2)2 2(x1 x2)2 4x1 x2 2 2，得 (x1 x2)2 4x1x2 4，即 (b 12b )2 4 · 4.a ba b1 2由 解得 a 3， b 3 ，x22y2故所求的椭圆的方程为3 3 1.