内蒙古包头市高二数学下学期期末考试试题理

内蒙古包头市 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题理2017 年 7 月 8 日一、选择题:( 本大题共 12 小题, 每小题5 分, 共 60 分。每题只有一个正确答案 )1设复数 z满足( z2i)(2 i) 5，则z( )A23iB 23iC32i D32i2函数 f(x) xe的递减区间为( )x23在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x5x，y3y后，曲线C变为曲线x2y 21，则曲线C的方程为( )A25x 29y21 B9x225y21C25x9y1 D.29y21 B9x225y21C25x9y1 D. 2 2x y 125 92 2x y4已知双曲线的方程为221( a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为a b53c( c为双曲线的半焦距长) ，则双曲线的离心率为( )A.5B.23 3 5 C.2 5D.235已知圆( x2)2y236 的圆心为M，设A为圆上任一点， N(2,0) ，线段 A N的垂直平分线交 M A于点 P，则动点 P的轨迹是 ( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线6长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，若这个长方体的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为( )A.72 B 56C14 D64x 1 x ，7已知函数 f ( x) cos x x2，则 f ( x)d x( )A.12B1C2 D.328f ( x) exx(e为自然对数的底数 ) 在区间 1,1 上的最大值是 ( )1A1 B1Ce1 De1e9在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E是棱 BB1 中点， G是 D D1 中点， F 是 B C上一点且 FB则G B与 EF所成的角为( )A30° B120°C60° D90°14BC，10已知直线l21：4x3y60 和直线l 2：x 1，抛物线y 4x 上一动点 P到直线l1 和直线l 2 的距离之和的最小值是 ( )A.3 5 11 B 2C.5 5D32x11已知椭圆C：42y1 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点 A满足 A F2F1F2，若3 点 P是椭圆C上的动点，则F1P· F2A的最大值为( )A.3B.23 3C.294D.15412函数 f ( x) 在定义域 R内可导，若 f (x) f (2 x) ，且当 x ( ，1)时，( x1) f ( x)<0 ，设af (0) ，b f (12) ，cf (3) ，则( )Aa<b<cBc<a<bC c<b<a Db<c<a二填空题:( 本大题共 4 小题, 每小题5 分, 共 20 分)13. 在极坐标系中，点 (2 ，6) 到直线 sin( 6) 1 的距离是_14. 若 某三 棱锥的 三视图如图所 示 ，则该三棱锥最长棱 的 棱长为_2x a15若 f(x) 22 (x R) 在区间 1，1 上是增函数，则a 的范围是 x16. 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾2 2 2股定理 c a b . 空间中的正方体， 用一平面去截正方体的一角， 截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为 S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有 _三解答题( 共 70 分), 写出必要的解题过程 .17 ( 本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l 的参数方程为x 1 y22t ，22t2( t为参数 ) ，直线l 与抛物线y2 4x 相交于 A，B两点，求线段 AB的长218.( 本题满分 12 分)如右图，已知椭圆2 2x y221( a>b>0) ，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点， A为椭圆的上顶点，a b直线 A F2 交椭圆于另一点 B.(1) 若F1AB90° ，求椭圆的离心率； (2) 若椭圆的焦距为 2，且A F22F2B，求椭圆的方程19( 本小题满分 12 分) 如图所示， BCD与MCD都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3.(1) 求证： AB平面 MCD；(2) 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值220. ( 本小题满分 12 分) 设函数 f( x) xax bln x，曲线 yf ( x)过 P(1,0) ，且在 P点处的切线斜率为 2.(1) 求 a，b 的值；(2) 令 g( x) f (x) 2x2，求 g(x) 在定义域上的最值21( 本小题满分 12 分)2已知抛物线 C：y 4x，点 M( m,0) 在 x 轴的正半轴上，过 M的直线 l 与 C相交于 A，B两点，O为坐标原点3(1) 若 m1，且直线 l 的斜率为 1，求以线段 A B为直径的圆的方程；(2) 问是否存在定点 M，不论直线 l 绕点 M如何转动，使得1| AM|212恒为定值| BM|1222.( 本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) x aln x.2(1) 若 a1，求函数 f ( x) 的极值，并指出是极大值还是极小值；(2) 若 a1，求函数 f ( x) 在1 ，e 上的最大值和最小值；(3) 若 a1，求证：在区间 1 ，) 上函数 f ( x) 的图像在函数 g( x)23 x3的图像的下方4包 33 中 20162017 学年度第二学期期末考试高二年级数学（理）试卷答案一、选择题 :( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C A B B C D D D B B B二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分, 共 20 分)13.1 ； 14. 2 2 ；15 1，1 ； 162 S2 S 2 S 2S ；1 2 3三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. 解析 将直线 l 的参数方程x1y22t ，22t2代入抛物线方程 y 24x，得(2 24x，得(2 2t )224(1 2t ) 解得 t 10，t 2 8 2.218. 答案 (1)22(2)2x32y 12解析 (1) 若 F1AB90° ，则 AOF2 为等腰直角三角形所以有 | OA| | OF2| ，即 bc.所以 a 2c，eca2.2(2) 由题知 A(0 ，b) ，F2(1,0) ，设 B( x，y) ，92b 3由AF22F2B，解得 x ，y2b2. 代入2x2a2y21，得b4 4221.a b即9 122 1，解得 a 3. 所以椭圆方程为1，解得 a 3. 所以椭圆方程为4a 42x32y1.219. 解析 (1) 证明：取 C D中点 O，因为 MCD为正三角形，所以 M OC D.由于平面 MCD平面 BCD，所以 M O平面 BCD.又因为 AB平面 BCD，所以 ABMO. 又 AB?平面 MCD，M O? 平面 MC，D所以 AB平面 MCD.(2) 连接 OB，则 OBC D，又 M O平面 BCD.5取 O为原点，直线 OC，BO，OM为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示OBO M 3，则各点坐标分别为 C(1,0,0) ，M(0,0 ， 3) ，B(0 ， 3，0) ，A(0 ， 3，2 3) C M( 1,0 ， 3) ，C A( 1， 3，2 3) 设平面 ACM的法向量为 n1( x，y，z) ，由n1· C M0，n1· C A0，得x 3z0，x 3y2 3z0，解得 x 3z，yz，取 z1，得 n1( 3，1,1) 又平面 BCD的法向量为 n2(0,0,1) ，所以 cosn1，n2n1· n2| n1| · |n2|1.52 5设所求二面角为 ，则 sin .520. 解析 (1) f (x) 12axbx( x>0) ，又 f ( x) 过点 P(1,0) ，且在点 P处的切线斜率为 2，f 0，f 2，即1a0，12ab2.解得 a1，b3.(2) 由(1) 知，f ( x) xx23ln x，其定义域为 (0 ，) ，2g( x) 2xx 3ln x，x>0.3x则 g(x) 12xx xx.当 0<x<1 时， g(x)>0 ；当 x>1 时，g(x)<0.所以 g( x) 在(0,1) 上单调递增，在 (1 ，) 上单调递减g( x) 的最大值为 g(1) 0，g( x)没有最小值21. 解析 (1) 设 A，B两点坐标为 A( x1，y1) ，B( x2，y2) ，AB中点 P的坐标为 P( x0，y0 )由题意，得 M(1,0) ，直线 l 的方程为 yx1.由yx1，2y 4x，2得 x 6x10.则 x1x26，x1x21，x1x2且 x0 3，y0x0 12.2故圆心为 P(3,2) ，6直径 | AB| 2| x1x2| 2· x1x224x1x2 8.以 AB为直径的圆的方程为( x3)2( y2) 216.(2) 若存在这样的点 M，使得1| AM|12| BM|2恒为定值，设直线l 的方程为xkym.由xkym，y 24x，24x，得 y 24ky4m0.24ky4m0.于是 y1y24k， y1y2 4m.又 | AM| 1(1 k 2 y2 2)，| BM|2 y2 2)，| BM|2y2 2) ， 2(1 k2y2 2) ，1 1 2| AM| | BM|2(1 1) ·2 2y y1 2121k12·1k2y1y2 2y1y22 y1y212·1km2k 222 .m要与 k 无关，只需m1，即 m2，21进而| AM|21 1 2 .| BM| 4存在定点 M(2,0) ，不论直线l绕点 M如何转动，12| AM|1 12恒为定值.| BM| 422. 解析 (1) 由于函数 f ( x) 的定义域为(0 ， ) ，当 a 1时， f ( x) x1xx xx，令 f (x) 0，得 x 1 或 x 1( 舍去 ) 当 x(0,1)时，函数 f ( x)单调递减，当 x(1 ， )时，函数 f ( x)单调递增，1所以 f ( x) 在 x1处取得极小值，极小值为 .2(2) 当 a1时，易知函数 f ( x) 在1 ，e 上为增函数，1所以 f ( x) min f (1) ，f ( x) maxf (e) 212e 21.21.1 2(3)证明：设F(x) f ( x) g( x) x x2ln x 3，2 31则F(x) x 2x2x2 x x2xx，当 x>1时， F( x)<0 ，故 F( x) 在区间(1 ， ) 上是减函数又因为F(1) 16<0，所以在区间1 ， ) 上 F( x)<0 恒成立，即 f ( x)< g( x) 恒成立因此，当 a1时，在区间1 ，) 上函数 f ( x) 的图像在函数 g( x)图像的下方7