七年级数学下册第八章二元一次方程组学科素养思想方法含解析新版新人教版0419218

二元一次方程组学科素养思想方法一、分类讨论思想【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.【应用链接】在解二元一次方程组的实际问题时，由于价格和购买量(人数等)相关联，经常会用到.【典例1】(2016·曲靖模拟)某校准备去楠溪江某景点春游，旅行社面向学生推出的收费标准如下：人数m0<m100100<m200m>200收费标准(元/人)908070已知该校七年级参加春游学生人数多于100人，八年级参加春游学生人数少于100人.经核算，若两个年级分别组团共需花费17700元，若两个年级联合组团只需花费14700元.(1)两个年级参加春游学生人数之和超过200人吗？为什么？(2)两个年级参加春游学生各有多少人？【思路点拨】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，分两种情况讨论，即a>200和100<a200，即可得出答案.(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，根据两种情况的费用，即100<x200和x>200分别列方程组求解，即可得出答案.【自主解答】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，若a>200，则a=14700÷70=210(人).若100<a200，则a=14700÷80=183(不合题意，舍去).则两个年级参加春游学生人数之和等于210人，超过200人.(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，则当100<x200时，得解得当x>200时，得解得(不合题意，舍去).则七年级参加春游学生人数有120人，八年级参加春游学生人数有90人.【变式训练】100元钱买15支钢笔，其中有单价为4元、8元、10元的钢笔三种(三种钢笔都买)，问有几种买法.【分析】根据题意，列出方程组，由于方程个数少于未知数的个数，方程的解不唯一，需根据题目隐含条件或实际意义确定未知数的范围，逐一进行讨论.【解析】设买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为x支、y支和z支.由题意得由，得x=15-y-z，把代入，得2y+3z=20，则y=10-z，由于y，z都为正整数，所以z只能取2，4，6.当z=2时，y=7，x=6；当z=4时，y=4，x=7；当z=6时，y=1，x=8.所以有三种买法：(1)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为6支、7支和2支.(2)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为7支、4支和4支.(3)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为8支、1支和6支.二、整体思想【思想解读】整体思想就是化零为整，化分散为集中，从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密相联的数、式看作一个整体去处理的一种思想方法.【应用链接】对于代入法求二元一次方程组或者求几个未知数的和等问题，常需要运用整体代入法.我们需根据题目特点，仔细观察组中各方程的系数，通过变形，整体代入计算.【典例2】(2017·泰州一模)已知实数x，y满足方程组求(x-3y)x+y.【思路点拨】既可以解方程组求出x，y，然后再计算最后的结果，也可应用整体的思想，根据组中两个方程未知数的系数，直接得到x+y与x-3y的值.【自主解答】+得：4(x+y)=20，即x+y=5，-得：2(x-3y)=-4，即x-3y=-2，所以(x-3y)x+y=(-2)5=-32.【变式训练】(2017·南江期末)三元一次方程组的解是_.【解析】+得：2(x+y+z)=22，即x+y+z=11，将代入得：z=6，将代入得：x=2，将代入得：y=3，则方程组的解为答案：- 3 -