江苏省姜堰溧阳前黄中学高三4月联考数学试题文

2018届高三姜堰中学、溧阳中学、前黄中学联考数 学 2018.04.13一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.若，为实数，则_.2.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取辆汽车进行测速分析,得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图,时速在以下的汽车有_.3.已知命题，则成立是成立的_.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.4.从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是_.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为_.6.设满足，则的最大值是_.7.若是周期为的奇函数，当时，则_.8.正方形铁片的边长为，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为_.9.已知函数的图象如图所示，则_.10.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为_.11.已知点，若圆上恰有两点，使得和的面积均为，则的取值范围是_.12.设分别为线段的中点,且,记为与的夹角,则的最小值为_.13.已知函数，其中为自然对数的底数,若存在实数使成立，则实数的值为_.14.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是_.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.在中，内角的对边分别为，已知，且.（1） 求的值；（2） 若，为的面积，求的取值范围.16.如图，在正三棱柱中，点在棱上，,点分别是的中点.（1） 求证：为的中点；（2） 求证:平面.17.科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对市每年的碳排放总量规定不能超过万吨,否则将采取紧急限排措施.已知市年的碳排放总量为万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量万吨.（1） 求市年的碳排放总量(用含的式子表示）；（2） 若市永远不需要采取紧急限排措施,求的取值范围.18.已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为.（1） 若直线上不存在点，使为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；（2） 在(1)的条件下，当取最大值时，点坐标为，设是椭圆上的三点，且,求:以线段的中点为圆心,过两点的圆的方程.19.设函数，其中.（1） 若，求过点且与曲线相切的直线方程；（2） 若函数有两个零点.求的取值范围；求证：.20.设，正项数列的前项的积为，且，当时，都成立.（1） 若，求数列的前项和；（2） 若，求数列的通项公式.附加题21A.选修4-1：几何证明选讲如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，OABCD，求以及的长21B.选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵,的一个特征值，其对应的特征向量是.（1）求矩阵； （2）设直线在矩阵对应的变换作用下得到了直线，求直线的方程21C.选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆：()，与极轴交于点(异于极点)，求直线的极坐标方程.21D.选修4-5：不等式选讲(本题满分10分)证明： (2，).22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （1）求事件 “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望23(本小题满分10分) 已知数列满足 （1）求，的值； （2）猜想数列的通项公式，并证明联考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1若，为实数，则 2某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取40辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h以下的汽车有 辆 163已知命题，命题，则成立是成立的 条件（选“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”填空） 充分不必要4从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为 5执行如图所示的程序框图，输出的值为 6设满足约束条件,则的最大值是 7已知是周期为2的奇函数且当时,则 8正方形铁片的边长为，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为 9已知函数的图象如图所示，则 10平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 11已知点，若圆上恰有两点，使得和的面积均为，则的取值范围是 12设D，E分别为线段AB，AC的中点，且·0，记为与的夹角， 的最小值为 13已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在中，内角的对边分别为，已知，且 .（1）求边的值；（2）若，为的面积，求的取值范围解：（1）由正弦定理 ，余弦定理 可等价变形为 化简得 3分 或6分若求范围：（2）由正弦定理得 10分在中，由 得 ，14分若求定值：由得故 解得 故 由正弦定理得 解得14分16（本小题满分14分）AA1BCB1C1DEF如图，在正三棱柱中，点在棱上，点， 分别是，的中点（1）求证：为的中点；（2）求证：平面 解：（1） 正三棱柱，平面，又平面，又，平面，3分又正三棱柱，AA1BCB1C1DEFG平面平面，为的中点6分（2） 连接，连接交于点，连接 矩形，为的中点， 又由(1)得为的中点， 中，9分 又点，分别是，的中点， 中，12分又平面，平面平面14分 17（本小题满分14分）科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨（m>0）.（）求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；（）若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围.解：设2018年的碳排放总量为，2019年的碳排放总量为，（）由已知，,=. （4分）（）,.（8分）由已知有（1）当即时,显然满足题意；（9分）（2）当即时，由指数函数的性质可得:，解得.综合得；（11分）（3）当即时，由指数函数的性质可得:，解得,综合得.（13分）综上可得所求范围是.（14分） 18（本小题满分16分）已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为（1）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围;（2）在（1）的条件下，当取最大值时，点坐标为，设、是椭圆上的三点，且，求：以线段的中点为圆心，过两点的圆方程解： （1）设直线与轴的交点是，依题意，即,4分（2）当且时， ，故， 5分所以，椭圆方程是： 6分设 ，则 ， 由，得 因为是椭圆C上一点，所以 8分 即 10分 因为圆过两点， 所以线段的中点的坐标为 11分又 12分由和得 所以圆心坐标为14分 （少一解扣一分）故所求圆方程为 16分 19（本小题满分16分）设函数，其中 （1）若，求过点且与曲线相切的直线方程；（2）若函数有两个零点， 求的取值范围； 求证：解（1）当a0时，f(x)1lnx，f (x)设切点为T(x0，1lnx0)，则切线方程为：y1lnx0( xx0) 2分因为切线过点(0，1)，所以 11ln x0 (0x0)，解得x0e 所以所求切线方程为yx1 4分（2） f (x)ax，x0 (i) 若a0，则f (x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，从而函数f(x)在(0，)上至多有1个零点，不合题意 5分 (ii)若a0，由f (x)0，解得x当0x时， f (x)0，函数f(x)单调递减；当x时， f (x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf()ln1ln要使函数f(x)有两个零点，首先 ln0，解得0ae 7分当0ae时，因为f()0，故f()·f()0又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点 9分考察函数g(x)x1lnx，则g(x)1当x(0，1)时，g(x)0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数g(x)在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，故f()1ln0因为0，故因为f()·f()0，且f(x)在(，)上单调递增，其图像在(，)上不间断，所以函数f(x)在区间(， 上恰有1个零点，即在(，)上恰有1个零点综上所述，a的取值范围是(0，e) 11分 由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1x2)，得 两式相减，得 a(x12x22)ln0，即a(x1x2) (x1x2)ln0，所以a(x1x2) 13分f (x1)f (x2)0等价于ax1ax20，即a(x1x2)0，即0，即2ln0设h(x)2lnxx，x(0，1)则h(x)10，所以函数h(x)在(0，1)单调递减，所以h(x)h(1)0因为(0，1)，所以2ln0，即f (x1)f (x2)0成立 16分20(本小题满分16分)设，正项数列的前项积为，且，当时，都成立(1)若，求数列的前项和；(2)若，求数列的通项公式解：(1)当n2时，因为M1，所以TnT1，可得an1ana1，故a13(n2)又a1，a23，则an是公比为3的等比数列，2分故an的前n项和为·34分(2)当nk时，因为TnTk，所以Tn1Tk，所以，即an1，6分因为M3，4，所以取k3，当n3时，有an4an2an1；取k4，当n4时，有an5an3an18分由an5an3an1知，数列a2，a6，a10，a14，a18，a22，a4n2，是等比数列，设公比为q由an4an2an1 知，数列a2，a5，a8，a11，a14，a17，a3n1，是等比数列，设公比为q1，数列a3，a6，a9，a12，a15，a18，a3n，成等比数列，设公比为q2，数列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a3n1，成等比数列，设公比为q3， 由得，q，且q1，所以q1q；由得，q，且q2，所以q2q；由得，q，且q3，所以q3q；所以q1q2q3q12分由得，a6a2q，a6a3q2，所以q，由得，a10a2q，a10a4q3，所以q，所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以an(n2)是公比为q的等比数列因为当n4，k3时，T7T1T4T3；当n5，k4时，T9T1T5T4，所以(q)2a2，且(q)2a2，所以q2，a2214分又a1，所以an(nN*)是公比为q的等比数列故数列an的通项公式是an2·16分