人教A版理科数学课时试题及解析（31）数列的综合应用

课时作业(三十一)第31讲数列的综合应用时间：45分钟分值：100分1 “lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2xz”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2 已知等差数列an的前n项和为Sn，S918，S1352，等比数列bn中，b5a5，b7a7，那么b15的值为()A64 B64 C128 D1283 设正项等比数列an，lgan成等差数列，公差dlg3，且lgan的前三项和为6lg3，则数列an的通项公式为()Anlg3 B3n C3n D3n14等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为()A2 B3 C. D.5 成等比数列的三个数a8，a2，a2分别为等差数列的第1、4、6项，则这个等差数列前n项和的最大值为()A120 B90 C80 D606 已知函数f(x)满足f(x1)f(x)，xR，且f(1)，则数列f(n)(nN*)的前20项的和为()A305 B315 C325 D3357 已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1>1，a4>3，S39，设bn，则使b1b2bn<成立的最大n值为()A97 B98 C99 D100图K31182011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图K311，在区域(x，y)|x0，y0内植树，第一棵树在点A1(0,1)，第二棵树在点B1(1,1)，第三棵树在点C1(1,0)，第四棵树在点C2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是()A(13,44) B(12,44)C(13,43) D(14,43)9 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A和 B和 C和 D和 10 已知等差数列an，对于函数f(x)x5x3满足：f(a22)6，f(a2 0104)6，Sn是其前n项和，则S2 011_.11 已知an2n1(nN)，把数列an的各项排成如图K312所示的三角数阵，记S(m，n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应数阵中的数是_135791113151719图K312图K31312 如图K313所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是_，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为_13 已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列xn是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)f(x9)f(x10)f(x11)0，则x2 011的值等于_14(10分) 某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元.2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年(n为正整数，2011年为第1年)的利润为100万元(1)设从2011年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为An万元，开发新项目的累计利润为Bn万元(须扣除开发所投入资金)，求An、Bn的表达式；(2)依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？15(13分) 已知直线l的方程为3x2y10，数列an的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线l上(1)求数列an的通项公式；(2)bn，数列bn的前n项和为Tn，求f(n)(nN)的最大值16(12分) 某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面控制汽车总量增长，交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇号(类似于抽签)的方法进行控制，制定如下方案：每月进行一次摇号，从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到号的用户不再参加以后的摇号；当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复申请，预计2012年1月申请车牌的用户有10a个，以后每个月又有a个新用户申请车牌计划2012年1月发放车牌a个，以后每月发放车牌数比上月增加5%.以2012年1月为第一个月，设前n(nN*)个月申请车牌用户的总数为an，前n个月发放车牌的总数为bn，使得an>bn成立的最大正整数为n0.(参考数据：1.05162.18,1.05172.29,1.05182.41)(1)求an、bn关于n的表达式，直接写出n0的值，说明n0的实际意义；(2)当nn0，nN*时，设第n个月中签率为yn，求证：中签率yn随着n的增加而增大课时作业(三十一)【基础热身】1A解析 若lgx，lgy，lgz成等差数列，则2lgylgxlgz，即lgy2lgxz，则y2xz，若y2xz，当x，z都取负数时，lgx，lgz无意义，故选A.2B解析 设等差数列an的公差为d，则解得b5a5a14d2，b7a7a16d4，设等比数列bn的公比为q，则q22，b15b7q84×2464，故选B.3B解析 依题意有3lga13lg36lg3，即a13.设等比数列an的公比为q，则q，lgqlga2lga1dlg3，解得q3，所以an3×3n13n，故选B.4D解析 设公比为q，又4S2S13S3，即4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，解得an的公比q.【能力提升】5B解析 由a8，a2，a2成等比数列，得(a2)2(a8)(a2)，解得a10，设等差数列为an，公差为d，则a118，a412，a68，2da6a44，d2，则这个等差数列前n项和为Sn18n×(2)n219n2，当n10或n9时，Sn有最大值90，故选B.6D解析 由已知f(x1)f(x)，则数列f(n)是等差数列，公差为，其前20项和为20××335，故选D.7B解析 由a4>3，S39，得a13d>3，且3a13d9，3a1<3d93a1,2a1<6，则a1<3，即1<a1<3.首项a1及公差d都是整数，a12,1<3d3，则d1，等差数列an的通项公式为an2(n1)×1n1，则bn，b1b2bn1，由1<，得n<99，即n的最大值为98，故选B.8A解析 OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，前43个正方形共有43×3×21935棵树，2011193576,764432,453213，因此第2011棵树在(13,44)点处9D解析 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.106 033解析 f(x)为奇函数，所以由f(a22)f(a2 0104)0得f(a22)f(4a2 010)，所以a224a2 010，即a2a2 0106，所以S2 0116 033.11101解析 观察知每一行的第一个数构成数列：1,3,7,13,21，相邻两项构成递推关系：a(m1,1)a(m,1)2m，所以a(10,1)a(9,1)18a(8,1)1618a(7,1)1434a(6,1)1248a(5,1)1060a(4,1)870137891，即第10行的第一个数为91，所以第10行第6个数为101.128解析 从第一道弧开始，半径依次为1,2,3,4，并且从第二道弧开始，每一道弧的半径比前一道弧的半径大1，所以第8道弧的半径为8.弧长依次为×1，×2，×3，×n，所以弧长之和为×(123n).134 003解析 设x8m，则x9m2，x10m4，x11m6，且x8x11x9x10，f(m)f(m2)f(m4)f(m6)0，且f(m)<f(m2)<f(m4)<f(m6)，f(m)<0，f(m6)>0.若m与m6关于原点不对称，则m2与m4也关于原点不对称，f(x)是奇函数，即f(x)f(x)，f(m)f(m2)f(m4)f(m6)0，矛盾，m与m6关于原点对称，则m2与m4关于原点对称，则m3，x83，x2 011x8(2 0118)×24 003.14解答 (1)依题意，An是首项为100496，公差为4的等差数列的前n项和，所以An96n×(4)98n2n2；数列的前n项和为100n×100n50，Bn100n5090100n40.(2)由(1)得，BnAn(98n2n2)2n2n240，BnAn是数集N*上的单调递增数列，观察并计算知B4A4<0，B5A5>0，所以从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润15解答 (1)由题意知3an2Sn10，则3an12Sn110，得an13an，所以数列an是公比为3的等比数列由3a12S110，得a11，所以an3n1.(2)由知，2Sn3an1，所以bn3n，Tn.f(n).当且仅当n，即n4时，等号成立所以f(n)的最大值为f(4).【难点突破】16解答 (1)an10a(n1)a(n9)a，bn20a(1.05n1)，由an>bn得，n017，说明第17个月以后，该项政策可以取消，不需要摇号就可以直接上牌(2)证明：当n1时，y1，当1<n17，nN*时，yn，yn(nN*，n17)，当2n17，nN*时，<0，<，nN*，n17时，an>bn，anan1>bnbn1>0，0<yn<1，yn>yn1，所以y1<y2<<y17，即yn随着n的增加而增大6