江西省南昌市10所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺数学（文）试题（七）

南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（七）数学（文）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页满分150分，考试时间120分钟第卷一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1已知复数，则的虚部为( ) A.2 B. C. D. 2设为非空集合,定义集合A*B为如图阴影部分表示的集合，若则A*B=( )A（0，2） B C（1,2 D3已知，则的值为( )A B C1 D24若，且，则( ) A B C D5观察下列各式：，若，则( )A.43 B57 C73 D916一次考试某简答题满分5分，以分为给分区间这次考试有人 参加，该题没有得零分的人，所有人的得分按分组所得的频率分布直方图如图所示设其众数、中位数、平均分最大的可能值分别为，则( ) A. B. C. D. 7. 给定下列命题过点且与圆相切的直线方程为.在中，在上任取一点，使为钝角三角形的概率为是不等式成立的一个充分不必要条件.“存在实数使”的否定是“存在实数使”.其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4A B C D9.已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为( )A B C D第卷二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)11. 不等式的解集为 12. 已知两个单位向量的夹角为，若向量，= . 13. 曲线在处的切线方程为 14. 已知等差数列的前项和为,、是方程的两根,且,则数列的公差为.15. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内的取值范围是 三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. (本小题满分12分) 已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.17. (本小题满分12分) 已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项 （1）求和的通项公式. （2）设，数列的前项和为，求证： 18. (本小题满分12分) 已知集合,.从集合中各取一个元素分别记为，设方程为（1）求方程表示焦点在轴上的双曲线的概率.（2）求方程不表示椭圆也不表示双曲线的概率19. (本小题满分12分) 如图,正三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,是的中点,在棱上.(1)当时,求三棱锥的体积.(2)当点使得最小时,判断直线与是否垂直,并证明结论.20. (本小题满分13分) 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分) 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围2013届高三模拟试卷（07）数学(文)参考答案 ， . . .解法2：， ， . . 解法3: ，. 作轴, 轴,垂足分别为,. 设,则.17. (本小题满分12分) 解：(1)设公差为，公比为，则 ,， 是单调递增的等差数列，.则,（2）， . 18. (本小题满分12分) 解：、所有可能的取法有：，共27种， （1）其中表示焦点在x轴上的双曲线的有：共6种，故方程 表示焦点在轴的上双曲线的概率为：； （2）其中不表示椭圆也不表示双曲线的有： 共11种，故方程不表示椭圆也不表示双曲线的概率为：19. (本小题满分12分)解：(1)因为侧面是边长为2的正方形，又(2)解法1：将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点.连接在中，得在中，得在等腰中，得所以由，得有勾股定理知解法2：将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点.过点作交于,连接，由且知四边形为所以.在正三棱柱中知面,而，所以面.20. (本小题满分13分)(1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: 椭圆的方程为. 解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， ， . 椭圆的方程为. (2) 解法1：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. 设,则. 由,即得. 抛物线在点处的切线的方程为，即.， . 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. 由解得 . ,点在椭圆上. .化简得.(*) 由, 可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点有两个. 解法2：设点,，由,即得. 抛物线在点处的切线的方程为，即.， .点在切线上, . 同理， . 综合、得，点的坐标都满足方程.经过的直线是唯一的，直线的方程为， 点在直线上， . 点的轨迹方程为. 若 ，则点在椭圆上，又在直线上，直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 满足条件 的点有两个. 解法3：设点,，则，三点共线, . 化简得：. 由,即得. 抛物线在点处的切线的方程为，即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . 设点，由得：，而，则 . 代入得 ， 则，代入 得 ，即点的轨迹方程为.若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 满足条件 的点有两个. 21. (本小题满分14分) 解：（1）函数的定义域为，设 ， 当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 当时，（I）由得. 当时，恒成立，在上单调递增 当时，恒成立，在上单调递减（II）由得或；.当时，开口向下，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减当，开口向上，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 （III）由得若，开口向上，且，都在上. 由，即，得或； 由，即，得所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 当时，抛物线开口向下，在恒成立，即在（0，+恒成立，所以在单调递减综上所述：递减递增递减递增递增其中 （2）因为存在一个使得，则，等价于.令，等价于“当 时，”.对求导，得. 因为，由，所以在上单调递增，在上单调递减. 由于，所以，因此. ·10·