Lyapunov稳定性理论概述

Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论是19世纪80年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在|T动控制、航空技术、生态生物、生化反应等H然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。稳定性的概念初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题dx=ax/x(O)=xo、t>0,xo>O(1)dt"的解为x(r)=Xof,而x二o是式的一个解。当日aO时，无论血|多小，只耍Ixol工0,在tf+8时，总有X(t)f8,即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当时，=与零解的误差不会超过初始误差X。，且随着t值的增加很快就会消失，所以，当血|很小时，x(t)与零解的误差也很小。这个例子表明&>0时的零解是“稳定”的。下而，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。设微分方程dx=/(X)x(to)=xoR(2)at满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t,to,Xo)的存在区间是(-,f(t,X)还满足条件：f(t,0)=0(3)(3)式保证了x(t)=0是式的解,我们称它为零解。这里给出定义1：若对任意给定的£>0,都能找到6=8(e,to),使得当IIXoII<S时的解满足X(t,Xo,Xo)IIx(t,to,Xo)II<E,tto,则称(2)式的零解是稳定的，否则称式的零解是不稳定的。二，Lyapunov稳定性定理Lyapunov第二法(即宜接法)探讨了一个二维H治系统的稳定性，并在这些原始儿何思想的基础之上，经由分析语言的提炼概括，给出了1条稳定性定理，1条渐近稳定性定理和2条不稳定性定理，这儿条定理被誉为稳定性的基本定理，为稳定性理论奠定了牢固的基础。1, 稳定性定理设系统的状态方程为xZ=f(x,t),其中xo=O为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件：1) V(x,t)为非正定(半负定)的，则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的；2) 更进一步，若V(x,t)的定义域G为Rn,对任意的tO和任意x(t0)#0,W(x,t)在t>tO时不恒为零,那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的，否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。此时，随着I|x|有V(x,t)s,则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。2, 渐近稳定性定理设系统的状态方程为X=f(X,t)其中X。二0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件：1) 若Vz(x,t)为负定的，则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的；2) 更进一步，若随着有V(x,t)8,那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。3, 不稳定性定理设系统的状态方程为x、f(x,t),其中Xo=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件：1) V(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的；2) 若Vz(x,t)为非负定的，且对任意的tO和任意的x(t。)工0,Vz(x,t)在t>to时不恒为零,那么该平衡态xo亦是不稳定的。由此，我们可以对Lyapunov稳定性判别方法做一个归纳总结，如下表:V(x)V(X)结论正定(>0)负定(<0)该平衡态渐近稳定正定(>0)半负定(50)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(>0)半负定(<0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(>0)正定(>0)该平衡态不稳定正定(>0)半正定(no)且不恒为o(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数稳定、全周指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。不过，这种可逆性的证明，即Lyapunov函数存在性的证明，是建立在解存在性的基础上的，并不能轻易构造出它的解析表达式來.而满足定理条件的Lyapunov函数，只要找到了1个(具体构造出來)就等于找到了无穷多个。例如，若V是满足某定理耍求的Lyapunov函数，则CV(对丁任意的C>0)也是满足该定理合适的Lyapunov函数.任何函数©(7)(00)也是，故有无穷多个.如果写成定理形式，系统的平衡位置有某种稳定性的充分必要条件是存在1个合适的Lyapunov函数V,它的导数空满足定理条件，值得注意的是证明充分性时所用的Lyapunovdt函数与证明必耍性时所找到的Lyapunov函数不一定也不必耍是同一个Lyapunov函数。三，Lyapunov函数的构造Lyapunovh.接法的核丿C?技巧是构造Lyapunov函数，虽然人们针对不同实际问题已经运用多种方法（能量函数法、类比法、梯度法、变梯度法、微分矩方法等）具体构造出满足需耍的Lyapunov函数，并获得了广泛的承认，但构造Lyapunov函数的方法仍无一般规律可循，纯粹是研究工作者本人的经验和技巧.这些方法都是试探性的，没有构造性的必然成功程序可言。这当然是一个遗憾，但也正因为如此原则性与灵活性高度统一，反而留给了人们更加广阔的施展才华的机会，鼓励那些“勤于思考，锲而不舍，锐利进取,精益求精”的人去砂里淘金。所以有人说过：“谁能构造出一个巧妙的Lyapunov函数，谁就能得出一批好结果，谁就能发表一批好的文章”.这是一位权威学者的肺腑之言。关丁如何构造Lyapunov函数，这里简耍介绍了3种试探凑合的原则性方法。1, 凑合V函数法先试探构造出正定的函数V（或变号V）,然后沿系统之解对V求导数兰，看dt条件能否保证空负定、半负定。如能，便可断定系统的平衡位置是渐近稳定（不dt稳定）、稳定的，否则任何结论也不能得到，只得再找其它的Lyapunov函数V。目前，大部分V函数的构造，都是用这种试探凑合法。2, 倒推V函数法先设计空负定（或半负定），然后积分求出V,來看V是否正定。若正定，dt便能断定系统平衡位置渐近稳定（稳定）；否则，也只好重新再找其它合适的V函数。3, 微分矩方法同时构造V和空,看能否满足所需条件，即所谓微分矩方法。然而，这种dt方法实际问题中应用较少。下而，我们运用上面所述的方法1和方法2对一个具体系统构造出它的Lyapunov函数。形如(4)的非线性系统，如果不知道A是否稳定，可尝试构造V=XTBX(B正定)沿其解计算得：=xtbx+xtbxdt=Xt(BA+ATB)X+XTBf(x)+fT(x)BX若BA+A'B负定，立即可断言平系统(5)的平衡位置x二0指数稳定，还可以根据2(BA+A'B)來估计x二0的吸引域。这是根据上述方法1的思想做的推导。八max如果己知A为Hurwitz矩阵，只是希望知道非线性系统在多大的区域内仍然指数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C,作V二VBX,其中B为线性矩阵不等式BA+A'B-C的解。这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。四，Lyapunov方法的发展世界著名数学大帅Hirsch和Smale在他们的专著常微分方程动力系统线性代数的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提示的汇集,并说它所以重耍，是因为它能解决物理学、工程学等方面的问题.我们认为这一门学科可以相当统一而连贯地进行阐述，常微分方程对丁其它学科领域的重要性，在丁它能启发、统一并推进这些学科领域。了解常微分方程与其它学科之问是如何联系的，对于学生及数学工作者來说，是获得洞察力和启示的一种主耍源泉”。如果将这段深刻而具有独特见解的话，应用到常微分方程中的Lyapunov稳定性，可以豪不夸张地说，Lyapunov在常微分方程中首创的稳定性理论和方法，不仅给人启迪，给人以洞察力，而且给人以智慧，给人以思想，锻炼人分析问题、解决问题的能力。这个学期的学习内容很丰富，最使我着迷的是稳定性理论的部分，它帮助我认识到了稳定性问题的实质和重耍性，并让我有机会较为系统的接触到了Lyapunov方法，以上便是我的一些相关的学习心得总结。