高三第一轮复习-(三)--函数的单调性、奇偶性

您的潜力，我们帮您发掘 09年高考第一轮总复习 三函数的单调性与奇偶性授课人：张胜利一巩固双基1函数的单调性（1）对于函数f(x)定义域上的子区间A，任意的x1、x2A：若x1x2 f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间A上是增函数；若x1x2 f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间A上是减函数。（2）函数y= - f(x)的单调性与y=f(x)的相反两个增（减）函数的和仍然是增（减）函数两个恒正的增（减）函数的积仍然是增（减）函数复合函数的单调性同增异减例1（1）函数y的递减区间是_；（2）函数y的递减区间是 _；（3）函数y的递增区间是 _。答：（1）(, 1)和(1, )（2） (1, 1（3）(, 2和(2, 1 例2判断函数f (x) (a0)在区间(1，1)上的单调性。 解：设1<x1<x2<1, 则 f (x1)f (x2), x121<0, x221<0, x1x21<0, x2x1>0, >0, 当a>0时, f (x1)f (x2)>0, 函数yf (x)在(1, 1)上为减函数， 当a<0时, f (x1)f (x2)<0, 函数yf (x)在(1, 1)上为增函数。2. 函数的奇偶性（1）对于函数定义域（关于原点对称）内任意x，若有f(-x)f(x)， 则 称 f(x)是偶函数；若有f(-x)-f(x)，则称f(x)是奇函数。（2）奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上单调性相同。偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上单调性相反。（3）对于函数f(x) ：如果满足f(m+x)f(m-x)即f(x)f(2m-x)，则yf(x)图象关于直线xm对称。如果满足f(m+x)-f(m-x)即f(x)-f(2m-x)，则yf(x)图象关于点(m，0)对称。例3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)lg(-x); (2)f(x)x· ;(3)f(x)+ (4)f(x)+解：(1)奇函数； (2)偶函数；(3)此函数定义域为2，故f(x)是非奇非偶函数。(4)此函数定义域为1，-1，且f(x)0，既是奇函数又是偶函数。例4设函数yf (x)是奇函数，对于任意x、yR都有f (xy)f (x)f (y)，且当x>0时，y<0，f(1)2，求函数yf (x)在区间3, 3上的最大值和最小值。 解：设x1, x23, 3, 且x1<x2, x2x1>0, f(x2)f (x1)f (x2x1x1)f (x1) f (x2x1)f (x1) f (x1) f (x2x1)<0, 函数yf (x)为减函数， 当x3时, f (3)3f (1)6, 为最小值；当x3时, f (3)3f (1)6 为最大值。练习1.已知函数yf (x)是偶函数(xR), 在x<0时，y是增函数，对x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,则（ ） （A）f (x1)>f (x2) （B）f (x1)<f (x2) （C）f (x1)f (x2) （D）以上都不对 答案：A二训练提升例5若函数p(x)、q(x)均为奇函数，f (x)a·p(x)b·q(x)2 (a2b20, a, b为常数)，且f (x)在(0, )上有最大值5，则f (x) 在(，0)上的最小值为 。答：1.例6. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：对任意的xR，恒有f(x)>0；（2） 证明：f(x)是R上的增函数；（3） 若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。解：（1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2， f(0)0， f(0)=1令a=x，b=-x，则 f(0)=f(x)f(-x)， 由已知x>0时，f(x)>1>0；当x<0时，-x>0，f(-x)>0， 对任意xR，f(x)>0（1） 任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 f(x2)>f(x1)， f(x)在R上是增函数（2） f(x)·f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增， 由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0， 0<x<3练习2.设奇函数f(x)的定义域为(-，0)(0，+)且在(0，+)上单调递 增，f(1)0，解不等式：fx(x-)0解：奇函数f(x)在(0，+)上递增f(x)在(-，0)上单调递增又f(-1)-f(1) f(-1)f(1)0当x(-1，0)(1，+)时f(x)0当x（-，-1）(0，1)时 f(x)0又x(x-)=(x-)2-1，fx(x-)0等价于0x(x-)1,解之得：x0或x例7设f(x)是定义在(-，+)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，又当-1x1时，f(x)=x3.()证明直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴；()求当x1，5时，f(x)的解析式.解：()由f(x+2)=-f(x)，又f(x)是奇函数，故f(x+2)f(-x).于是f(1-x)=f-(x-1)f(x-1)+2f(x+1)，故f(x)的图像关于直线x=1对称.()由()f(x)的图象关于直线x=1对称，故当1x3时，f(x)=(2-x)3.又当3x5时-1x-41，故此时，f(x)=(x-4)3.于是有f(x)=。例8已知是上的减函数，求实数a的取值范围。答案：练习3（1）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数（2）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是_.答案：（1）D; （2）练习4. （1）已知f(x)与g(x)的定义域是x|xR，且x±1，若f(x)是偶函数，g(x)是奇函 数，且f(x)+ g(x)=，则f(x)= ，g(x)= .（2）判断函数的奇偶性。答案：（1） （2）偶。（3）若是R上的减函数，且的图象经过点A（0，3）和B（3，1），则不等式的解集是 .（4）已知Z）是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c的值.解： （3）.（4）f(x)为奇函数，f(x)=f(x)， a,b, c, Z ，b=1, a=1, 综上 ，a=1, b=1, c=0.高考数学三轮复习法第一轮总复习：章节复习指导思想：依纲靠本，归纳总结战略方针：归纳总结，学会练熟具体措施：分章节，归纳总结； 抓中下，勤练双基。