一阶电路的全响应与三要素

§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的 作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。本节将讨论既有非零初始状态，又 有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。5.4.1 RC电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S闭合前，电容已经充电且电容电压u （0 ）二U，在t=0c -0时将开关S闭合，直流电压源U作用于一阶RC电路。根据KVL，此时电路方程可表示为：SC图5-19 一阶RC电路的全响应duRC c + u = U（5-19）dtC S根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为u （0 ） = u （0 ） = UC +C -0令方程（5-9 ）的通解为u = u' + u"C C C与一阶RC电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则u '二 UCS同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为u二Ae,。其中e二RC为电路的时 C间常数，所以有u 二 U + Ae-eCS将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为A 二 U + U0S5-20)所以电容电压最终可表示为u 二 U + (U - U )e-e c S 0 S 电容充电电流为._du U -U .i = C c = s0 edt R这就是一阶RC电路的全响应。图5-20分别描述了 U，U0均大于零时，在U > U0、八0、U人三种情况下与i的波形。sc0(a)i 的波形图图5-20uC将式（5-20）重新调整后，得u = U e第二项则是电路的零状态响应。C 0 S 从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应显然，RC电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即全响应 =零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC电路，在RC电路的分析过程中同样适用, 同时，对于n阶电路也可应用叠加定理进行分析。进一步分析式（5-20）可以看出右端第一项是电路微分方程的特解，其变化规律与电路外加激励源相同，因此被称之为为强制分量；式（5-20）右端第二项对应于微分方程的通解， 其变化规律与外加激励源无关，仅由电路参数决定，称之为自由分量。所以，全响应又可表示为强制分量与自由分量的叠加，即全响应 =强制分量 + 自由分量 从另一个角度来看，式（5-20）中有一部分随时间推移呈指数衰减，而另一部分不衰减。显然，衰减分量在f T8时趋于零，最后只剩下不衰减的部分，所以将衰减分量称为暂态 分量，不衰减的部分称为稳态分量，即全响应 =稳态分量 + 暂态分量5.4.2三要素法 一阶电路都只会有一个电容（或电感元件），尽管其它支路可能由许多的电阻、电源、 控制源等构成。但是将动态元件独立开来，其它部分可以看成是一个端口的电阻电路，根据 戴维南定理或诺顿定理可将复杂的网络都可以化成图5-21所示的简单电路。下面介绍的三 要素法对于分析类复杂一阶电路相当简便。CTuc+(a)(b)图5-21复杂一阶电路的全响应从图5-21 (b)可以看出，如前所述，uC的表达式可以写为Cu (t)二 u + u (0 ) u e"tCocC +oc其中t= R c，u是一端口网络N的开路电-压，由于u二limu (t)二u (g)，所以上式 eq ococc c可以改写成为u (t)二 u (a) + u (0 ) u (s)et(5-21)C C C + C同理，根据图5-21 (d)可以直接写出电感电流的表达式为i (t) = i (a) + li (0 ) + i (a)-e t(5-22)LLL + LLu其中t二，I (a)=斗 为：的稳态分量。R LRLeqeq综合上述两种情况后发现，全响应总是由初始条件、特解和时间常数三个要素来决定在直流电源激励下，若初始条件为f (0 )，特解为稳态解f (a)，时间常数为T，则全响应+f (t) 可表示为f (t)二 f (a) + f (0 ) f (a)e t(5-23)+如果已经确定一阶电路的f (0 )、f (a)和t这三个要素，就可以根据式(5-23)直接+写出电流激励下一阶电路的全响应，称之为三要素法。一阶电路在正弦激励源的作用下，由于电路的特解f'(t)是时间的正弦函数，则(6-23)式可以写为f (t)二 f'(t) + f (0 ) f '(0 )e -T+其中f '(t)是特解，为稳态响应，f'(o )是t二0时稳态响应的初始值。+§5.5一阶电路的阶跃响应和冲激响应5.5.1奇异函数奇异函数也叫开关函数，在电路分析中非常有用。当电路有开关动作时，就会产生开关 信号，这些奇异函数是开关信号最接近的理想模型，它对我们进一步分析一阶电路响应非常 重要。(1)单位阶跃函数 作为奇异函数的一种，单位阶跃函数的数学表达式为£ (t)二假如这种突变发生在在=比> °)时刻则单位阶跃函数又可表示为£ (t-1) =11t<0t>t0如图5-25 (b)所示，£ (t-1 )起作用的时间比£ (t)滞后了 t，称为延迟的单位阶Jl£(t)o(a)单位阶跃进函数J£(t t0)ot0 t(b)延迟的单位阶跃函数图5-25 阶跃函数0(c)提前的单位跃函数(2)单位冲激函数在实际电路切换过程中，可能会出现一种特殊形式的脉冲，其在极短的时间内表示为非常大的电流或电压。为了形象描述这种脉冲，引入了另一种奇异函数单位冲激函数5 (t)，其数学定义如下:18 (t )dt = 1< -88 (t) = 0(当心 0)单位阶跃函数又叫8函数，如图5-29 (a)所示，图5-29 (b)表示强度为K的冲激函 数。(a)(b)图5-29冲激函数与阶跃函数一样，冲激函数存在时间滞后或提前的情况。例如发生在t二t时刻的单位 0冲激函数可写为8 (t -1 )，发生在t = -t，且强度为K的冲激函数可表示为K (t + t0)。0 0 0值得注意的是，冲激函数有两个非常重要的性质： 单位冲激函数8(t)对时间t的积分等于单位阶跃函数8(t)，即Jt 8 (g 涎=8 (t)(5-24)g反之，阶跃进函数8(t)对时间的一阶导数等于冲激函数8(t)，即5-25)竺® =8 (t)dt单位冲激函数的“筛分”性质设f是一个定义域为t (-g,g)，且在t = t0时连续的函数，则-gf(t)8(t-t0)dt= f(t0)5-26)由此可见，冲激函数能够将一个函数在某一个时刻的值f (t )筛选出来，称之为“筛分” 0性质，又称取样性质。5.5.2 RC电路的阶跃响应电路在单位阶跃函数激励源作用下产生的零状态响应称为单位阶跃响应。对5.3中分析 过的RC电路而言，外施激励由直流电压源换为阶跃函数8(t)，则RC电路中的电容电压的 单位阶跃响应为5-27)u = (1 et)8 (t)C5.5.3 RL电路的阶跃响应对于简单的RL电路来说，当激励源为阶跃函数8(t)时，电路中的电感电流的单位阶跃响应为1ti = (1 et )8 (t)(5-28)LR=2 + (5 2)e10t=(2 + 3e-iot)(A)5.5.4 RC电路的冲激响应如图5-32 (a)所示的RC电路中，激励源由单位冲激函数8 .(t)来描述。+uC图5-32+uCRC电路的冲激响应设电容无初始储能，根据KCL有=8 (t)i其中有u (0 ) = 0。将上式从0到0时间间隔内积分，有C -+ f0 + Cdt = f0+8 (t)dt 0 R 0du u CC + C dt RJ° + CdUC0 dt udu如果u为冲激函数，则i (i = C)也为冲激函数，而i = C将为冲激函数的一阶导数,CR R RC dt则上式不能成立故uc不可能为冲激函数且上式中第二项积分应为零所以有Cu (0 ) - u (0 ) = 1C + C -u (° )=C + C而当t > ° +时，冲激电流源相当于开路，如图5-32 (b)所示。则电容电压可表示为上1上u = u (0+)e-t =e-t£ (t)C CC其中t = RC为时间常数，s(t) = ft 8 (g)dg。g5.5.5 RL电路的冲激响应如图5-33 (a)所示的RL电路中，激励源用单位冲激函数8 (t)来描述。 u+ uL图 5-33(b)+ uL(a)RL电路的冲激响应则RL电路的零状态响应为i =e-ts (t)LLL其中T =，为时间常数。R在此电路中，电感电流发生跃变，而电感电压u可表示为LR-t=5 (t) e(t)L而i；和作的波形如图5-34所示。和作的波形图