毕业论文一类具有五阶细焦点的平面五次系统的定性分析.doc

第三章 一类具有五阶细焦点的平面五次系统的定性分析3.1引言本文对如下系统做定性分析 (3.1)其中均为任意实数。利用基于Poincar思想的形式级数法和对称原理对系统进行分析判定系统的奇点类型。依据Hopf分支理论判定系统极限环的稳定性。3.2平衡点的性态定理3.2.1 对于系统（3.1）当时,(1) 系统(3.1)的有限处实奇点为O(0,0)，N(1，0)。且对于O(0,0),时为系统(3.1)的稳定粗焦点，时为(3.1)的不稳定粗焦点。(2) N(1，0)是系统(3.1)的鞍点。证明 考虑方程组的解。(1)由奇点类型的判定方法知O(0，0)为系统的有限处奇点。由以下式子 (3.2)可得系统(3.1)的线性近似系统的Jacobi矩阵为其特征方程为=其中，于是可知，当时，O(0,0)为系统(3.1)的稳定粗焦点；当时，O(0,0)为系统(3.1)的不稳的粗焦点。(2)易知，N(1,0)也为有限处奇点。现对N(1,0)进行判定。令（3.2）式中的，可得系统（3.1）的线性近似系统的Jacobi矩阵为其特征方程为令，则有，根据p-q法则判定知N(1,0)为系统(3.1)的鞍点。当时，对应于（3.1）的线性系统的系统矩阵为，故O(0,0)为系统(3.1)的所对应线性系统的中心。需要对奇点O(0,0)进行中心焦点的判定。下面采用基于Poincar思想的形式基数法来研究当时奇点O(0,0)的性质。定理3.2.2 对于系统（3.1），当时，有(1)当时，O(0,0)为一阶不稳定细焦点；(2)当时，O(0,0)为一阶稳定细焦点；(3)当，时，O(0,0)为二阶不稳定细焦点；(4)当，时，O(0,0)为二阶稳定细焦点； (5)当，时，O(0,0)为五阶不稳定细焦点；(6)当，时，O(0,0)为五阶稳定细焦点；证明 当=0时，令其中是的k次多项式(k=3,4)，则有 (3.3)令（3.3）式右端的3次幂项为0，有将上式取极坐标，并且消去后可得=取，即。令（3.3）式右端的4次幂项为0，有将上式取极坐标，并且消去后可得下面分情况讨论(1) 当时，因为，改取满足方程，其中，且与同号。设 ，则有.从而，当时，O(0,0)为一阶不稳定细焦点；当时，O(0,0)为一阶稳定细焦点。 (2)当时，有=0，所以令（3.3）式右端的5次项为0，有将上式取极坐标，并且消去后可得取 取 令(3.3)式右端的6次幂项为0，则有将上式取极坐标，并且消去后可得(2)当时，因为，改取满足方程,其中，且与同号。设+ ，则有.从而，当时，O(0,0)为二阶不稳定细焦点；当时，O(0,0)为二阶稳定细焦点。 (3)当时，有令(3.3)式右端的7次幂项为0，有 将上式取极坐标，并且消去后可得故取,即。令(3.3)式右端的8次幂项为0，有将上式取极坐标，并且消去后可得取 令(3.3)式右端的9次幂项为0，有将上式取极坐标，并且消去后可得整理得令（3.3）式右端的10次幂项为0，有将上式取极坐标，并且消去后可得由于 同理有所以 故令(3.3)式右端的11次幂项为0，有将上式取极坐标，并且消去后可得故令(3.3)式右端的12次幂项为0有 将上式取极坐标，并且消去后可得 由于 同理得 所以(4)当，时得到改取满足方程其中 且与同号。设，则有从而，当，时， O(0,0)为系统(4.1)的五阶不稳定细焦点；当，O(0,0)为系统(4.1)的五阶稳定细焦点。3.3极限环的存在性定理3.3.1 下列条件之一成立时，系统(3.1)在O(0,0)外围存在一个极限环，且时所产生的环不稳定，时产生的环稳定 (1)， ；(2)，；(3)， ；(4)，；(5)， ；(6)，；证明 在定理的条件（1）、（3）或（5）下，当时系统(3.1)以O(0,0)为不稳定细焦点。而当时，系统（3.1）以O(0,0)为稳定的粗焦点。当从零开始减小时，系统(3.1)的奇点O(0,0)由不稳定的细焦点变为稳定的粗焦点。从物理学的角度看，奇点由吸收能量到释放能量，此过程必产生等幅震荡，故可知在此几种参数的条件下系统(3.1)在点O(0,0)外围至少产生一个不稳定的极限环。在定理（2）、（4）或（6）的条件下，当时系统(3.1)以O(0,0)为稳定的细焦点。而当时，系统(3.1)以O(0,0)为不稳定的粗焦点。当从零开始增加时，系统的奇点O(0,0)由稳定的细焦点变为不稳定的粗焦点。从物理学的角度讲，奇点由释放能量到吸收能量，此过程中必产生等幅震荡，故可知在此几种参数的条件下系统(3.1)在点O(0,0)外围至少产生一个稳定的极限环。