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2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 全 国 课 标 1 理 科 数 学 第 卷 一 、 选 择 题 ： 共 1 2 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 6 0 分 .在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 一 项 . 1 .已 知 集 合 ， ， 则 （ ） . . . . . 2 .（ ） . . . . . 3 .设 函 数 ， 的 定 义 域 都 为 ， 且 是 奇 函 数 ， 是 偶 函 数 ， 则 下 列 结 论 正 确 的是 （ ） . .是 偶 函 数 .是 奇 函 数.是 奇 函 数 .是 奇 函 数 4 .已 知 是 双 曲 线 ： 的 一 个 焦 点 ， 则 点 到 的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 （ ） . . . . .5 .4 位 同 学 各 自 在 周 六 、 周 日 两 天 中 任 选 一 天 参 加 公 益 活 动 ， 则 周 六 、 周 日 都 有 同 学 参 加 公 益 活 动 的 概 率 （ ） . . . . 6 .如 图 ， 圆 的 半 径 为 1 ， 是 圆 上 的 定 点 ， 是 圆 上 的 动 点 ， 角 的 始 边 为 射线 ， 终 边 为 射 线 ， 过 点 作 直 线 的 垂 线 ， 垂 足 为 ， 将 点 到 直 线 的 距 离 表 示 为 的 函 数 ， 则 在 上 的 图 像 大 致 为 （ ） . 7 .执 行 下 图 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 分 别 为 1 ,2 ,3 ， 则 输 出 的 （ ） . . . . . 8 .设 ， ， 且 ， 则 （ ） . . . . 9 .不 等 式 组 的 解 集 记 为 .有 下 面 四 个 命 题 ： ： ， ： ,： ， ： . 其 中 真 命 题 是 （ ） .， .， .， .， 1 0 .已 知 抛 物 线 ： 的 焦 点 为 ， 准 线 为 ， 是 上 一 点 ， 是 直 线 与 的 一 个 焦 点 ， 若 ， 则 （ ） . . . . 1 1 .已 知 函 数 ， 若 存 在 唯 一 的 零 点 ， 且 ， 则 的 取 值 范 围 为 （ ） . . . . . 1 2 .如 图 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1 ， 粗 实 线 画 出 的 是 某 多 面 体 的 三视 图 ， 则 该 多 面 体 的 个 条 棱 中 ， 最 长 的 棱 的 长 度 为 （ ） . . . . . 第 卷 本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 个 部 分 。 第 （ 1 3 ） 题 -第 （ 2 1 ） 题 为 必考 题 ， 每 个 考 生 都 必 须 作 答 。 第 （ 2 2 ） 题 -第 （ 2 4 ） 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 . 1 3 .的 展 开 式 中 的 系 数 为 .（ 用 数 字 填 写 答 案 ） 1 4 .甲 、 乙 、 丙 三 位 同 学 被 问 到 是 否 去 过 ， ， 三 个 城 市 时 ，甲 说 ： 我 去 过 的 城 市 比 乙 多 ， 但 没 去 过 城 市 ； 乙 说 ： 我 没 去 过 城 市 ；丙 说 ： 我 们 三 人 去 过 同 一 个 城 市 . 由 此 可 判 断 乙 去 过 的 城 市 为 . 1 5 .已 知 ， ， 是 圆 上 的 三 点 ， 若 ， 则 与 的 夹 角 为 . 1 6 .已 知 分 别 为 的 三 个 内 角 的 对 边 ， ， 且 ， 则 面 积 的 最 大 值 为 . 三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .1 7 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， ， ， ， 其 中 为 常 数 .（ ） 证 明 ： ； （ ） 是 否 存 在 ， 使 得 为 等 差 数 列 ？ 并 说 明 理 由 . 1 8 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）从 某 企 业 生 产 的 某 种 产 品 中 抽 取 5 0 0 件 ， 测 量 这 些 产 品 的 一 项 质 量 指 标 值 ， 由 测 量 结 果 得 如 下 频 率 分 布 直 方 图 ： （ ） 求 这 5 0 0 件 产 品 质 量 指 标 值 的 样 本 平 均 数 和 样 本 方 差 （ 同 一 组数 据 用 该 区 间 的 中 点 值 作 代 表 ） ； （ ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 以 认 为 ， 这 种 产 品 的 质 量 指 标 值 服 从 正态 分 布 ， 其 中 近 似 为 样 本 平 均 数 ， 近 似 为 样 本 方 差 . （ i） 利 用 该 正 态 分 布 ， 求 ；（ ii） 某 用 户 从 该 企 业 购 买 了 1 0 0 件 这 种 产 品 ， 记 表 示 这 1 0 0 件 产 品 中 质 量 指 标 值 为 于 区 间 的 产 品 件 数 ， 利 用 （ i） 的 结 果 ， 求 .附 ： ， 若 ， 则 ， . 1 9 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）如 图 三 棱 锥 中 ， 侧 面 为 菱 形 ， . （ ） 证 明 ： ； （ ） 若 ， ， ， 求 二 面 角 的 余 弦 值 . 2 0 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 已 知 点 ， 椭 圆 ： 的 离 心 率 为 ， 是 椭 圆 的 右 焦点 ， 直 线 的 斜 率 为 ， 为 坐 标 原 点 . （ ） 求 的 方 程 ；（ ） 设 过 点 的 动 直 线 与 相 交 于 两 点 ， 当 的 面 积 最 大 时 ， 求 的 方 程 . 2 1 .（ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）设 函 数 ， 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 . （ ） 求 ；（ ） 证 明 ： . 请 考 生 从 第 （ 2 2 ） 、 （ 2 3 ） 、 （ 2 4 ） 三 题 中 任 选 一 题 作 答 。 注 意 ： 只 能 做 所 选 定 的 题 目 。 如果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 个 题 目 计 分 ， 作 答 时 请 用 2 B铅 笔 在 答 题 卡 上 将 所 选 题 号 后 的 方 框涂 黑 . 2 2 .（ 本 小 题 满 分 1 0 分 ） 选 修 4 1 ： 几 何 证 明 选 讲如 图 ， 四 边 形 是 的 内 接 四 边 形 ， 的 延 长 线 与 的 延 长 线 交 于 点 ， 且 （ ） 证 明 ： ；（ ） 设 不 是 的 直 径 ， 的 中 点 为 ， 且 ， 证 明 ： 为 等 边 三 角 形 . 2 3 .（ 本 小 题 满 分 1 0 分 ） 选 修 4 4 ： 坐 标 系 与 参 数 方 程已 知 曲 线 ： ， 直 线 ： （ 为 参 数 ） . （ ） 写 出 曲 线 的 参 数 方 程 ， 直 线 的 普 通 方 程 ；（ ） 过 曲 线 上 任 一 点 作 与 夹 角 为 的 直 线 ， 交 于 点 ， 求 的 最 大 值 与 最 小 值 . 2 4 . （ 本 小 题 满 分 1 0 分 ） 选 修 4 5 ： 不 等 式 选 讲 若 ， 且 .（ ） 求 的 最 小 值 ； （ ） 是 否 存 在 ， 使 得 ？ 并 说 明 理 由 . 参 考 答 案 一 、 选 择 题ADCAD CDCBB CB 二 、 填 空 题1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . 三 、 解 答 题1 7 .（ 1 ） 证 明 ： 由 题 意 得 所 以又 因 为 所 以所 以 （ 2 ） 解 ： 假 设 存 在 ， 使 得 为 等 差 数 列 .由 （ 1 ） 知 因 为 所 以因 为 所 以所 以 故所 以 是 首 项 为 1 ， 公 差 为 4 的 等 差 数 列 ， 是 首 项 为 3 ， 公 差 为 4 的 等 差 数 列 ，所 以 因 此 存 在 ， 使 得 为 等 差 数 列 . 1 8 .解 ：（ 1 ） 抽 取 产 品 的 质 量 指 标 值 的 样 本 平 均 数 （ 2 ） （ 1 ） 由 （ 1 ） 知 ， ， 从 而（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 一 件 产 品 的 质 量 指 标 值 位 于 区 间 的 概 率 为 依 题 意 知 ， 所 以 1 9 .解 ：（ 1 ） 连 结 ， 交 于 ， 连 结 .因 为 侧 面 为 菱 形 ， 所 以 ， 且 为 与 的 中 点 . 又 ， 故（ 2 ） 因 为 且 为 的 中 点 ， 所 以 又 因 为 ， 所 以故 ， 从 而 ， ， 两 两 互 相 垂 直 . 以 为 坐 标 原 点 ， 的 方 向 为 轴 正 方 向 ， 为 单 位 长 ， 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角坐 标 系 . 因 为 ， 所 以 为 等 边 三 角 形 .又 ， 则， ， ， ， ， 设 是 平 面 的 法 向 量 ，即 所 以 可 取设 是 平 面 的 法 向 量 ， 则 同 理 可 取则 所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为 . 2 0 .解 ：（ 1 ） 设 ， 由 条 件 知 ， ， 得 又 ， 所 以 ，故 的 方 程 为 . （ 2 ） 依 题 意 设 直 线 ：将 代 入 得 当 ， 即 时 ，从 而 又 点 到 直 线 的 距 离 ， 所 以 的 面 积设 ， 则 ， 因 为 ， 当 且 仅 当 ， 即 时 等 号 成 立 ， 且 满 足所 以 当 的 面 积 最 大 时 ， 的 方 程 为 . 2 1 .解 ： （ 1 ） 函 数 的 定 义 域 为 ， ,由 题 意 可 得 , 故（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 从 而 等 价 于 . 设 函 数 ， 则 .所 以 当 时 ， ;当 时 , . 故 在 单 调 递 减 ， 在 单 调 递 增 ， 从 而 在 的 最 小 值 为. 设 函 数 ， 则 .所 以 当 时 ， ;当 时 ， .故 在 单 调 递 增 ， 在 单 调 递 减 ， 从 而 在 的 最 大 值 为 . 综 上 ， 当 时 ， ,即 . 2 2 .（ 1 ） 由 题 设 得 ， 四 点 共 面 ， 所 以由 已 知 得 ， ,所 以 （ 2 ） 设 ， 连 接 ,则 由 ,知所 以 在 上 ， 又 不 是 的 直 径 ， 为 中 点 ， 故 即 所 以 ,故 .又 ， 故 由 （ 1 ） 知 所 以 为 等 边 三 角 形 。 2 3 .（ 1 ） 曲 线 C的 参 数 方 程 为直 线 的 普 通 方 程 为 （ 2 ） 在 曲 线 C上 任 意 取 一 点 到 的 距 离 为则 其 中 为 锐 角 。 且 当 时 ，当 2 4 .（ 1 ） 由 得 ， 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 。 故 且 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 。由 于 ， 从 而 不 存 在 。