第四章 非平稳序列和季节序列模型

上海财经大学统计学系非平稳序列和季节/B序列模型在实际应用中我们经常会遇见不满足平稳性的时间序列尤其在经济领 域和商业领域中的时间序列多数都是非平稳的图41是美国1961年1 月1985年12月16-19岁失业女性的月度数据图42是美国1871年 1979年烟草生产量的年度数据图41图42上海财经大学统计学系§ 41均值非平稳均值非平稳性将对于时变均值函数的估计提出各种问题我们将引入两种比较常用的 模型1确定性趋势模型2随机趋势模型上海财经大学统计学系确定性趋势模型对于非平稳序列的时变均值函数最简单的处 理方法就是考虑均值函数可以由一个时间的确定性函数来描述这时 可以用回归模型来描述假如均值函数服从于线性趋势 我们可以利用确定性的线性趋势模型上海财经大学统计学系如 果均值函数服从二次函数则我们可以用假如均值函数服从k次多项式我们可以使用下列模型建模上海财经大学统计学系更一般地在模型中除了确定性趋势之外其余部分是平稳部分其中由于 得到上述的确定性趋势可以通过差分运算加以消除上海财经大学统计学系对于最简单的线性趋势易得的一阶差分序列则是一个平稳但是非可逆的MA 1模型如果趋势为k次多项式则 经过k阶差分得到上海财经大学统计学系随机趋势模 型和差分 一种使得均值函数非平稳的情况是自回归参数不满足平 稳条件的ARMA模型例如考虑AR 1模型其中经过简单的迭代计算可得由此容易得到的方差则当时的均值和方差都趋向于 这种过程称为爆炸性的 上海财经大学统计学系§ 42自回归求和移动平均模型ARIMA 一般的ARIMA模型 随机游动Random Walk模型 上海财经大学统计学系一般的ARIMA模型如果时间序列的d阶差分是一个平稳的ARMA p q序列其中是整数则称为具有阶pd和q的自回归求和移动平均 ARIMA 模型记为ARIMA模型的表示ARIMA p d q模型 可以写成 上海财经大学统计学系随机游动Random Walk模型设时间序列有下列模型则称 为随机游动序列随机游动一词首次出现于1905年自然Nature杂志第72卷Pearson K和Rayleigh L的一篇通信中该信件的题目是随机游动问题文中讨论寻找一个被放 在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索上海财经大学统计学系随机游走过程的均值为零方差为无限大随机游动序列是非平稳的时间序列 上海财经大学统计学系§ 43方差和自协方差非平稳根据过程宽平稳定义当均值为常数时其协方差也不一 定满足平稳条件前面所述ARIMA模型的均值函数是依赖于时间的进 一步地我们说明其方差和协方差也不满足平稳条件例如使用模型 去拟合 个观测序列关于这个时间原点模型可以写为 上海财经大学统计学系类似地有假设 和为常数则可以计算计算自协方差函数设ARIMA模型的方差依赖于时间且另外当时方差的值是无界的最后序列的自协方差也依赖于时间上海财经大学统计学系下面我们考虑另外一类问题就是有些非平稳时间序列通过 有限阶差分不一定能够平稳有许多序列虽然均值平稳但方差非平稳 此时需要考虑利用适当的变换使得方差平稳在许多场合非平稳时间 序列的方差随均值水平的改变而变化即 对于某些正值常数c和函 数f上述等式成立我们的工作是寻找一个函数T使得变换后的序列具有同方差上海财经大学统计学系若时间序列的标准差与均值水平成正比即则 若时间序列的方差与均值水平成正比即则若时间序列的标准差与均值水平的平方成正比即则上海财经大学统计学系一般地我们可以采用Box-Cox变换即 该变换是Box和Cox1964引入的这里称为变换参数上海财经大学统计学系§ 44季节/B时间序列SARIMA模型在某些时间序列中存在明显的周期性变化这种周期是由于季节/B 性变化包括季度月度周度等变化或其他一些固有因素引起的这类序 列称为季节/B性序列比如一个地区的气温值序列每隔一小时取一 个观测值中除了含有以天为周期的变化还含有以年为周期的变化在 经济领域中季节/B性序列更是随处可见如季度时间序列月度时间 序列周度时间序列等处理季节/B性时间序列只用以上介绍的方法 是不够的描述这类序列的模型之一是季节/B时间序列模型 seasonal ARIMA model用SARIMA表示较早文献也称其为乘积季节/B模型multiplicative seasonal model上海财经大学统计学系设季节/B性序列月度季度周度等序列都包括其中的变化周期为s 即时间间隔为s的观测值有相似之处首先用季节/B差分的方法消 除周期性变化季节/B差分算子定义为1- Bs 若季节/B性时间序列用yt表示则一次季节/B差分表示为Xt 1- BsXt Xt - Xt - s对于非平稳季节/B性时间序列有时需要进行D 次季节/B差分之后才能转换为平稳的序列P BsXt Q Bs 8 t 上海财经大学统计学系 季节/B时间序列模 型的一般表达式