上海市静安、青浦、宝山区2015届高三第二学期教学质量检测数学文试题

静安区2014学年第二学期高三年级教学质量检测 数学试卷（文科） 2015.04.（满分150分，考试时间120分钟）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知抛物线的准线方程是，则 2已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则此扇形的弧长为 3复数（为虚数单位）的模为 4函数的值域为 5若，则 6在的展开式中，的系数是 7方程的解集为 8已知，若随机选取，则直线不经过第二象限的概率是 .9圆的圆心到直线的距离为 10已知、是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则、两点之间距离的最大值是 .11把一个大金属球表面涂漆，共需油漆公斤若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤12设是平面内两个不共线的向量，.若三点共线，则的最小值是 13设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，且，则数列的公比 14已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）16.已知偶函数的定义域为，则下列函数中为奇函数的是（ ）（A）（B）（C）（D）17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）（A）是循环变量初始化，循环就要开始（B）为循环体（C）是判断是否继续循环的终止条件（D）输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.定义：最高次项的系数为1的多项式（）的其余系数均是整数，则方程的根叫代数整数下列各数不是代数整数的是（ ） （A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分 如图，在正三棱柱中，已知， 三棱柱的体积为(1)求正三棱柱的表面积；(2)求异面直线与所成角的大小.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数满足关系，其中是常数.（1）若，求的解析式，并写出的递增区间；（2）设，若在上恒成立，求常数的取值范围21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公园有个池塘，其形状为直角，的长为2百米，的长为1百米（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、上取点，如图(1)，使得，在内喂食，求当的面积取最大值时的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在、上取点，如图(2)，建造连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使为正三角形，记，求边长的最小值及此时的值(精确到1米和0.1度)22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分 在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不 重合的点（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（3） 记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当的面积为时，求直线的方程23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；（3）记是数列的前项之积，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由3区2014学年第二学期高三二模质量抽测（文、理）参考答案及评分标准 2015.04说明：1本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数4给分或扣分均以1分为单位一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1 ； 2；3； 4；5 ； 6 ；7（文） 8.（文）；（理） （理）；9. （文）； 10 （文）；（理） ； （理）；11 ； 12. ；13. （文）； 14. .（理）二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. ；16. ； 17 ；18. .三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分.19解：（文科）(1) 因为三棱柱的体积为，从而， 因此. 2分该三棱柱的表面积为. 4分(2)由（1）可知 因为/.所以为异面直线与所成的角， 8分在Rt中， 所以=.异面直线与所成的角 12分解：（理科）(1)因为，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高. 2分四棱锥的体积为4分（2）如图（图略），建立空间直角坐标系则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），6分设AC的中点为M，是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是，8分令z=1，解得x=0，y=1， 9分设法向量与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角12分20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.20.解：（1），；4分递增区间为 ，（）（注：开区间或半开区间均正确） 6分（2）（文），当时，8分令，则函数在上递减10分所以12分因而，当时，在上恒成立14分（理），8分10分解得 12分所以14分21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 21.解：(1)设，则，故，所以，2分，4分因为当且仅当时等号成立，即6分(2)在中，设，则，8分所以设，则，在中，10分又由于，所以11分化简得百米=65米13分此时，,14分解法2：设等边三角形边长为，在中，8分由题意可知，9分则，所以，11分即，13分此时，,14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.22.解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，1分所以在双曲线中，因而双曲线方程为4分（2）设，则由题设知：，即5分解得7分因为点在椭圆C上，所以，即，亦即所以点M的轨迹方程为9分（3）（文）因为AB所在直线方程为解方程组 得， 所以，.又 解得，所以 11分由于14分解得即又，所以直线方程为或 16分 （3）（理）（方法1）因为AB所在直线方程为解方程组得，所以，.又解得，所以 11分由于14分或，当且仅当时等号成立，即k1时等号成立，此时AMB面积的最小值是SAMB 15分AB所在直线方程为 16分（方法2）设，则，因为点A在椭圆上，所以，即（i）又（ii）（i）+（ii）得，11分所以.14分当且仅当（即）时，. 又AB所在直线方程为 16分23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.23.解：（1）不是封闭数列，因为， 1分对任意的，有， 2分若存在，使得，即，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾所以该数列不是封闭数列 4分（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，解得.故存在，使， 6分下面证明整数对，若，则取，对，存在使，即，所以，矛盾，故存在整数，使 8分（充分性）若存在整数，使，则，对任意，因为，所以是封闭数列. 10分（3）由于，所以，11分因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，若，则，此时不存在所以没有意义12分若，则，所以， 13分若，则，于是，所以， 16分若，则，于是，所以， 17分综上讨论可知：，该数列是封闭数列 18分来源:学|科|网Z|X|X|K