最新一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(基础)

精品资料一元二次方程的解法(三)-公式法,因式分解法知识讲解(基础).一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值（要注意符号）； 求出的值； 若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：. 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：. 当时，右端是负数因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程(1) x2+3x+1=0； (2)； (3) 2x2+3x-1=0【答案与解析】 (1) a=1，b=3，c=1x=x1=，x2=(2)原方程化为一般形式，得，即， (3) a=2，b=3，c=1b24ac=170x=x1=，x2=【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014武汉模拟）x23x2=0【答案】解：a=1，b=3，c=2；b24ac=（3）24×1×（2）=9+8=17；x=，x1=，x2=2用公式法解下列方程：(1) （2014武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014秋开县期末）3x26x2=0 ； （3）（2015黄陂区校级模拟）x23x7=0【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】 解：(1)2x2+x2=0，a=2，b=1，c=2，x=，x1=，x2=(2) a=3，b=6，c=2，b24ac=36+24=600，x=，x1=，x2= （3）a=1，b=3，b=7b24ac=9+28=37.x= = ，解得 x1=，x2=【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：移项，得 ， ， ，类型二、因式分解法解一元二次方程3用因式分解法解下列方程： (1)3(x+2)22(x+2)； (2)(2x+3)2-250； （3）x（2x+1）=8x3【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程.【答案与解析】 (1)移项得3(x+2)2-2(x+2)0，(x+2)(3x+6-2)0 x+20或3x+40， x1-2，(2)(2x+3-5)(2x+3+5)0， 2x-20或2x+80， x11，x2-4 （3）去括号，得：2x2+x=8x3，移项，得：2x2+x8x+3=0合并同类项，得：2x27x+3=0，（2x1）（x3）=0，2x1=0或 x3=0，x2=3【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法(2)可用平方差公式分解4解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40； (2)【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+40，(2x+1+2)20 即， (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)0，即(x-1)(x+2)0，所以，【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法如 (1)可以用完全平方公式用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x1这个根举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X1=-6,x2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 .5探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根二次三项式因式分解 x22x+1=0 x1=1，x2=1 x22x+1=（x1）（x1） x23x+2=0 x1=1，x2=2 x23x+2=（x1）（x2） 3x2+x2=0 x1=，x2=13x2+x2=3（x）（x+1） 2x2+5x+2=0 x1=，x2=2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=，x2= 4x2+13x+3=4（x+）（x+）将你发现的结论一般化，并写出来【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论【答案与解析】填空：，3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程因式分解法