判别式法 (2)

用“判别式法”求一类函数值域应注意的地方余鹤生如何求函数值域是高一函数部分必须要掌握的内容，也是历来高考的热点之一。对于各种简单函数可有不同的求值域方法。其中一类函数可由“判别式法”求其值域的。笔者经过多年的教学，发现一些学生只是机械地搬用“判别式法”，而忽视其严谨性，结果往往发生“伪值”、“漏判”或回避矛盾的错误，使结论不准确、不可靠。那么，怎样才能准确、合理地使用“判别式法”求函数的值域呢？应该要注意些什么呢？笔者认为要注意三个方面：1函数定义域是求函数值域的大前提，定义域发生变化，值域有变化可能。2在解题过程中，每步变形或推理都要注意等价性或充要性。这是利用判别式法正确地求函数值域的关键。需要特别指出的是，由于函数变形（包括用换元法），化为一元二次方程形式，断言“方程有实数解”时，尤其要注意是否只在某一特定区间才可下此断言，并讨论之，否则往往会搞错。3如果函数能变形为一元二次方程形式，我们在求解中又注意到以上两个方面，那么我们用判别式法求函数值域是可行的。但它不是唯一的较好方法。我们往往可以用其它方法灵活、巧妙地求解。下面略举几例用“判别式法”求值域的例题，与大家共同探讨。例1求函数的值域。解：函数定义域为：在此前提下，我们有：、 对方程分下列（）、（）两种情况讨论：（）如方程为一元二次方程是实数，方程有实根，其充要条件是0即0整理得：0 不等式的解集为任意实数，但当时，=0，方程有实根，这时的对应值，背离了前提，应舍去，故。（）如，方程可同解变形为：，显然应舍去，故综合（）、（），的值域为0的解集除去的其余部分。故的值域为例2求函数的值域解：是实数，方程有实数解的充要条件是0，即 注意到条件仅是的充分条件，只有，即条件下才有所以取的公共部分，得，则的值域为以上二例，我们可以知道函数的定义域是求 函数的值域的大前提。充分必要条件的运用是求解过程中变形的重要原则，忽略了这两点，求得的结果当然是不可靠的。例3求函数的值域。解法（一）， 则的值域为解法（二）设，则有 设Z1，Z2为方程之两根，且Z1，Z2同负，则其充要条件是：即但由假设为实数，故Z不为负，设Z1，Z2同负得到的，应予排除，故的值域应在0时的中排除，故的值域是。比较以上两种解法，易见解法（一）简捷、严密，解法（二）中，若不注意，是是充分但不必要条件，运用如下解法：上面方程有实数解的条件是0，即，则可为一切实数，这就错了。这时方程虽然有解，但不能保证有解，从而不能保证等式的值的存在。 例4求函数的值域 解法（一）函数的定义域为，设，那么 函数可化为：，即 ，故下面三种情况应予排除： （）方程的两根分别在两旁。令，则其充要条件为： （）方程的两根都小于0，其充要条件为： 易知此不等式组无解。 （）方程的两根都不大于1，其充要条件为： 综上所述，的值域应在的解集中排除和，故的值域是 解法（二）同解法（一）可以得： ，二次函数的图象（抛物线开口向下），对称轴， 当时，函数是增函数， 函数的最大值为 函数的最小值为的值域为 解法（三）设，于是函数可化为： ，即当时，函数有最大值5，当时，函数最小值2。函数值域为。由此题的几种解法得知，对于有些可用判别式法求值域的函数，如果采取其他方法可能更加灵活、巧妙、简捷。用换元法还要注意定义域的变化。总之解数学问题，思维方法要采用辩证法，具体问题要具体对待。