浅谈不等式的证明方法与技巧

浅谈不等式的证明方法与技巧不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。        一、不等式的初等证明方法         1综合法：由因导果。         2分析法：执果索因。基本步骤：要证.只需证.，只需证.        （1）“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。        （2）“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。         3反证法：正难则反。         4放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：        （1）添加或舍去一些项，如：         （2）利用基本不等式，如：          （3）将分子或分母放大（或缩小）：                 5换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题        化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。                6构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。        证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。         7数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。         8几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。         9函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。         10判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当 a0时，f（x）ax2bxc0（或0）.0（或0）。当 a0时，f（x）0（或 0）.0（或 0）。        二、部分方法的例题         1换元法        换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。          注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。         2放缩法        欲证 AB，可将 B适当放大，即 B1B，只需证明 AB1。相反，将 A适当缩小，即 AA1，只需证明 A1B即可。                        注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。         3几何法        数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。                注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。        每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。        数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要；二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。        解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃；有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。