域的基本概念与性质.ppt

8.3域的基本概念与性质,定义8.3.1设(F,+,x)为一个交换环，若(F*,x)是群则称(F,+,x)为一个域。其中F*=F0。域也可以定义为：每个非零元都有逆元的整环。,例8.3.1全体实数集合R、有理数集合Q以及复数集合C，在通常的加法和乘法运算下都构成域。例8.3.2试证(R2,)是一个域，其中运算和的定义如下：(a,b)(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)由(R2,)(C,+,x)，和(C,+,x)是域即可知。,设f为从环(R,+,x)到(R,+,x)的同态，但f不是同构，则R是整环并不能确保R也是整环。例如，f:ZZn，mmn是整数环从(Z,+,x)到同余类环(Zn,+n,xn)的同态。Z是整环，而当n不是素数时，Zn不是整环。,例8.3.3证明(Zp,+p,xp)是域当且仅当p是素数。证.若(Zp,+p,xp)是域，则(Zp,+p,xp)是整环，于是其特征p是素数。若p是素数，mpZp，由p与m互素，故存在s,tZ，使得sp+tm=1于是spp+ptmp=1p即tpxpmp=1p因此mp的逆元是tp。,定理8.3.1有限整环(R,+,x)一定是域。证.只需证明非零元都有逆元即可。设r0R，r00考虑映射f:RR,rr0r若r0r1=r0r2，则由整环无零因子知r1=r2故f是单射。又R为有限环，不妨设|R|=n，则单射f将R中n个不同元素映到R中n个不同元素，故f是满射。于是存在r1R，使f(r1)=1，即r0r1=1，故r0有逆元r1,定理8.3.2整环是域的充要条件是它不含真理想。证.充分性设整环(R,+,x)不含真理想，只需证明非零元r0都有逆元。设由r0生成的R的主理想为(r0)，因于r0(r0)，因此(r0)0，于是(r0)=R，而整环R的(r0)=r0r|rR故存在r1R，使r0r1=1，故r0有逆元r1。必要性设I为域(R,+,x)的理想，I0，则存在非零元rI，再由R为域知r-1R，故1=r-1rI，于是对aR有a=a1I，即I=R。,