文科数学高考试题与答案全国卷Ⅱ.doc

-2019 年文科数学高考试题（全国卷 )8若 x1=3x (>0)两个相邻的极值点，则=， x2=是函数 f(x)= sin443A 2B 一、单选题21已知集合 A= x | x1 ， B x | x2 ，则 AB=C 1D 12A ( 1， + )B (，2)9若抛物线 y2=2px（ p>0）的焦点是椭圆x2y21 的一个焦点，则p=C (1， 2)D 3p p2设 z=i(2+i) ，则 z =A 2B 3A 1+2iB 1+2iC4D 8C 12iD 12i10曲线 y=2sinx+cosx 在点 ( ， 1)处的切线方程为3已知向量 a=(2 ，3)， b=(3， 2)，则 |a b|=A x y1 0B 2x y 2 1 0A 2B 2C 2x y 2 1 0D x y1 0C 52D 5011已知 a（ 0，4生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只测）， 2sin2 =cos2+1，则 sin =2量过该指标的概率为1523A B 55A B 3521CD C3D 2 5555在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测35甲：我的成绩比乙高x2y2乙：丙的成绩比我和甲的都高2 2 212设 F 为双曲线 C：b21（ a>0， b>0）的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x +y =a丙：我的成绩比乙高a2成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为交于 P、 Q 两点若 |PQ|=|OF |，则 C 的离心率为A 甲、乙、丙B 乙、甲、丙A 2B 3C丙、乙、甲D 甲、丙、乙C 2D 5x0时， f(x)= ex6设 f(x)为奇函数，且当1，则当 x<0 时， f(x)=A e x1B e x1二、填空题C e1D e1，xx13若变量 x，y 满足约束条件xy3，则z=3xy的最大值是_.7设 ，为两个平面，则 的充要条件是0y2，A 内有无数条直线与平行014我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有 20B 内有两条相交直线与平行个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值C ，平行于同一条直线为 _.15 V ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c.已知 bsinA+acosB=0 ，则 B=_.D ，垂直于同一平面16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体 ”（图 1） .半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成-第 1 页 共 4 页第 2 页 共 4 页的多面体 .半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为48 的半正多面体， 它的所有顶点都在同一个正1）若 V POF2 为等边三角形，求C 的离心率；方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有（_个面，其棱长为 _（2)如果存在点 P，使得 PF1PF2 ，且 F PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围 .121已知函数 f (x) ( x 1)ln xx1.证明：（1） f ( x) 存在唯一的极值点；（2） f ( x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22 选修4-4：坐标系与参数方程三、解答题在极坐标系中， O 为极点，点 M (0 , 0 )( 00) 在曲线 C :4sin上，直线 l 过点 A(4,0) 且与 OM 垂17如图，长方体ABCD A1B1C1D 1 的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱 AA1 上， BE EC1 .直，垂足为 P.（ 1）当0 =时，求0 及 l 的极坐标方程；3（ 2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 .23 选修4-5：不等式选讲 已知 f ( x) | x a | x | x 2 | (x a).（1）当 a1时，求不等式 f ( x)0 的解集；（ 1）证明： BE平面 EB1C1 ；（ 2）若 x(,1) 时， f ( x)0 ，求 a 的取值范围 .（ 2）若 AE=A1E， AB=3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积18已知 an 是各项均为正数的等比数列，a12, a3 2a216.（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）设 bnlog 2 an ，求数列 bn 的前 n 项和 .19某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表 .y 的分组 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（ 1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（ 2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到 0.01）附： 748.602 .x2y21(ab 0)的两个焦点， P 为 C 上一点， O 为坐标原点20已知 F1 , F2 是椭圆 C :2b2a第 3 页 共 4 页第 4 页 共 4 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1 C【解析】【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得【详解】由题知，AB(1,2) ，故选 C【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题2 D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z 【详解】z i(2 i) 2i i 21 2i ，所以 z12i ，选 D 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求部分考生易出现理解性错误3 A【解析】【分析】本题先计算ab ，再根据模的概念求出| ab| 【详解】由已知， ab (2,3)(3,2)( 1,1)，所以 |a b |( 1)2122 ，故选 A答案第 1 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误； 也有可能在计算模的过程中出错4 B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解【详解】设其中做过测试的3 只兔子为 a, b, c ，剩余的 2 只为 A, B ，则从这 5 只中任取3 只的所有取法有 a, b,c, a, b, A, a,b, B, a, c, A, a, c, B, a, A, B ， b,c, A, b,c, B,b, A, B,c, A, B 共 10 种其中恰有2 只做过测试的取法有 a,b, A, a, b, B, a,c, A, a, c, B, b,c, A, b,c, B 共 6 种，所以恰有2 只做过测试的概率为6310，选 B5【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错5 A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3 人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A 【点睛】答案第 2 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查6 D【解析】【分析】先把 x<0 ，转化为 -x>0,代入可得f (x) ，结合奇偶性可得f ( x) .【详解】f ( x) 是奇函数，BCAP 时， f ( x) ex 1当 x0 时，x0 ， f (x)f (x)e x1 ，得 f ( x)e x1故选 D【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养采取代换法， 利用转化与化归的思想解题7 B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、 逻辑推理素养， 利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是/ /的充分条件，由面面平行性质定理知， 若/ /，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是/ /的必要条件，故选B【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若 a, b, a / /b ，则/ /”此类的错误8 A【解析】【分析】答案第 3 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知， f ( x)sin x 的周期 T22( 3)，得2 故选 A 44【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用方程思想解题9 D【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如 p2 时，抛物线焦点为（ 1，0），椭圆焦点为（2，0），排除 A ，同样可排除B ， C，故选 D 【详解】因为抛物线 y22 px( p0)x2y 2的焦点 ( p ,0) 是椭圆1的一个焦点，所以23 pp3 p p ( p )2 ，解得 p8，故选 D2【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养10 C【解析】【分析】先判定点 ( , 1) 是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当 x时， y2sincos1 ，即点 ( , 1) 在曲线 y2sin xcos x上y2cos xsin x,y x2cossin2, 则 y2sin xcos x 在点 ( ,1)处的切线方程为y(1)2( x) ，即 2xy210 故选 C【点睛】答案第 4 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、 逻辑推理和数学运算素养采取导数法， 利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程11 B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1 关系得出答案【详解】2sin 2cos21， 4sin cos2cos 2.0, ,cos0 2sin0,2sincos ，又 sin 2cos21， 5sin 21,sin 21，又5sin0 ，sin5 ，故选 B 5【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度， 判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉12 A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与 a 关系，可求双曲线的离心率【详解】设 PQ 与 x 轴交于点 A ，由对称性可知 PQx 轴，又 PQ | OF |c ， | PA | c ,PA 为以 OF 为直径的圆的半径，2A 为圆心 | OA |c2答案第 5 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。Pc , c，又 P 点在圆 x2y2a2 上，22c2c22，即c22,2c22 44a2aea2e 2 ，故选 A 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐， 准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来13 9.【解析】【分析】作出可行域，平移3xy0 找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得 .【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，答案第 6 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线3x y z 0 中的 z 表示纵截距的相反数，当直线 z 3x y 过点C（3,0）z取最大值为9时，【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、 逻辑推理和数学运算素养采取图解法，利用数形结合思想解题搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值14 0 98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2 ，其中高铁个数为 10+20+10=40 ，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.98 40【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养侧重统计数据的概率估算，难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误， 根据分类抽样的统计数据， 估算出正点列车数量与列车总数的比值315.4【解析】【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】答案第 7 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。由正弦定理，得sin B sin Asin A cosB0 A (0, ), B (0, ) ，sin A 0, 得sin B cosB0 ，即 tan B1， B3. 故选 D 4【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取定理法， 利用转化与化归思想解题忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,) 范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角16共 26 个面 .棱长为21.【解析】【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性， 平面几何解决【详解】由图可知第一层与第三层各有9 个面，计18 个面，第二层共有8 个面，所以该半正多面体共有 18826 个面如图， 设该半正多面体的棱长为x ，则 ABBEx，延长 BC 与 FE 交于点 G ，延长 BC交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE 为等腰直角三角形，BGGECH2 x,GH 22 xx ( 2 1)x 1，22x12 1，即该半正多面体棱长为21 21【点睛】答案第 8 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形17（ 1）见详解；（2） 18【解析】【分析】（ 1）先由长方体得，B1C1平面 AA1 B1B ，得到 B1C1BE ，再由 BEEC1 ，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（ 2）先设长方体侧棱长为2a ，根据题中条件求出a3；再取 BB1 中点 F ，连结 EF ，证明 EF平面 BB1C1C ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（ 1）因为在长方体ABCDA1B1C1D1 中， B1C1平面 AA1B1B ；BE平面 AA1B1B ，所以 B1C1BE ，又 BEEC1 ， B1C1EC1C1 ，且 EC1平面 EB1C1 ， B1C1平面 EB1C1 ，所以 BE平面 EB1C1 ；（ 2）设长方体侧棱长为2a，则 AEA1 Ea ，由（ 1）可得 EB1BE ；所以 EB12BE 2BB12 ，即 2BE 2BB12，又 AB 3 ，所以 2 AE 22 AB2BB12，即 2a2184a2 ，解得 a3 ；取 BB1 中点 F ，连结 EF ，因为 AEA1 E ，则 EF AB ；所以 EF平面 BB1C1C ，所以四棱锥E BB1C1C 的体积为VE BB C C1 S矩形BB C CEF1BCBB1EF13 6 318 .1 133311答案第 9 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.18（ 1） an22n 1；（ 2） Snn2 .【解析】【分析】(1)本题首先可以根据数列an是等比数列将 a3 转化为 a1q2， a2 转化为 a1q ，再然后将其带入 a3 = 2a2 +16 中，并根据数列an 是各项均为正数以及a1 2 即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列an的通项公式以及对数的相关性质计算出数列bn 的通项公式， 再通过数列bn的通项公式得知数列bn 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果。【详解】(1)因为数列an是各项均为正数的等比数列，a3= 2a2 +16 ， a12 ，所以令数列an的公比为 q ， a3 = a1q2 =2 q2， a2= a1q = 2q ，所以 2q2= 4q +16 ，解得 q2 ( 舍去 )或 4 ，所以数列an是首项为 2、公比为4 的等比数列， an2 4n 122n 1。(2)因为 bnlog 2 an ，所以 bn2n1， bn+1 = 2n +1， bn+1 - bn = 2，所以数列b是首项为1、公差为2的等差数列， Sn= 1+2n - 1 ? nn2。n2【点睛】答案第 10 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题。19 (1) 增长率超过40 0的企业比例为10021 ，产值负增长的企业比例为1002 = 501 ；（ 2）平均0数 0.3；标准差 0.17 .【解析】【分析】(1) 本题首先可以通过题意确定 100个企业中增长率超过 40 0 0 的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过40 00 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2) 可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。【详解】(1) 由题意可知，随机调查的100 个企业中增长率超过40 0 0 的企业有 14 + 7 = 21个，产值负增长的企业有2 个，所以增长率超过40 0的企业比例为10021，产值负增长的企业比例为1002 = 501。0(2)2?(0.1 + 24? 0.153? 0.3 14? 0.5 7? 0.7由题意可知，平均值y =)100= 0.3 ，标准差的平方：s2=1轾0.1 - 0.32(0.12+ 53?(0.320.3)2(0.722?+ 24 ?0.30.3 +14? 0.5+ 7?0.3臌 ()()100 犏= 1001 0.32 + 0.96+ 0.56+1.12 = 0.0296，所以标准差 s = 0.0296 =0.0004椿740.02椿8.602 0.17 。【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题。20 (1) e31 ；（ 2） b4 ，a 的取值范围为 42,) .【解析】【分析】答案第 11 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。（ 1）先连结 PF1 ，由 V POF2 为等边三角形， 得到 F1 PF2 90， PF2c ， PF3c ；1再由椭圆定义，即可求出结果；（ 2）先由题意得到， 满足条件的点P( x, y) 存在，当且仅当 1 y2c 16 ， yy1，2x cxcx2y21 ，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.a2b2【详解】（ 1）连结 PF1 ，由 V POF2 为等边三角形可知： 在 F1PF2 中，F1PF290 ， PF2c ，PF13c ，于是2a PF1 PF2 c3c，c2故椭圆 C 的离心率为 e13 1；a3（ 2）由题意可知， 满足条件的点 P( x, y) 存在，当且仅当 1 y 2c16 ， yy1，2xc xcx2y21 ，a2b2即 c y 16 x2y2c2x2y21a2b242由以及 a2b2c2 得 y2b2，又由知 y2162，故 b4 ；cc由得 x2a2(c2b2 ) ，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232，故a4 2；c2当 b4， a42 时，存在满足条件的点P .故 b4， a 的取值范围为 42,) .【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单答案第 12 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.21（ 1）见详解；（2）见详解【解析】【分析】（ 1）先对函数f (x) 求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一x0 ，使得 f ( x0 )0 ，进而可得判断函数f ( x) 的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（ 2）先由（ 1）的结果，得到f ( x0 )f (1) 2 0 ， f (e2 ) e230 ，得到 f (x) 0在 ( x0 ,) 内存在唯一实根，记作x，再求出 f ( 1 )0，即可结合题意，说明结论成立 .【详解】（ 1）由题意可得，f ( x) 的定义域为 (0,) ，由 f (x) ( x 1)ln xx 1 ，得 f (x)x11 ln x1ln xx，x显然 f ( x)ln x1单调递增；x1ln 41又 f (1)10 ， f (2)ln 2220 ，故存在唯一 x0 ，使得 f( x0 )0 ；又当 xx0 时， f(x0 )0 ，函数 f ( x) 单调递增；当 0x x0 时， f( x0 ) 0 ，函数 f ( x)单调递减；因此，f (x) 存在唯一的极值点；（ 2）由（ 1）知， f (x0 )f (1)2 ，又 f (e2 )e23 0 ，所以 f ( x)0在 ( x0 ,) 内存在唯一实根，记作x.由 1 x011x0 ，得又 f ( 1 ) ( 11)ln 111f ( )0 ，故 1 是方程 f( x)0在(0, x0 ) 内的唯一实根；答案第 13 页，总 15 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。综上，f (x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型.22（ 1）02 3 ， l 的极坐标方程为sin()2 ；（ 2）4cos()642【解析】【分析】（ 1）先由题意，将0 =代入4sin即可求出0 ；根据题意求出直线l 的直角坐标方3程，再化为极坐标方程即可；（ 2）先由题意得到 P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围 .【详解】（ 1）因为点 M ( 0 ,0 )(0 0) 在曲线 C :4sin上，所以 04sin04sin2 3 ；3即 M (23, ) ，所以 kOMtan3 ，33因为直线 l 过点A(4,0) 且与 OM 垂直，所以直线 l 的直角坐标方程为y3 ( x4) ，即 x+3y 4 0；3因此，其极坐标方程为cos3sin4 ，即 l 的极坐标方程为sin()2 ；yy6（ 2）设 P(x, y) ，则 kOP， kAPxx，4由题意， OPAP ，所以 kOP k AP1，故y21，整理得 x2y24x0 ，x24x因为 P 在线段 OM 上， M 在 C 上运动，所以0x 2,2y 4 ，所以， P 点轨迹的极坐标方程为24 cos0 ，即4cos() .42【点