文科立体几何线面角二面角专题带答案.doc

文科立体几何线面角二面角专题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=22，O为AC的中点（1）证明：平面ABC；（2）若点M在棱上，且二面角MPAC为，求与平面所成角的正弦值2如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，为的中点 （1）证明：PO平面； （2）若点在棱上，且MC=2MB，求点到平面的距离3（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点P，G分别是，B1C1的中点，已知平面ABC，AA1=B1C1=3，A1B1=A1C1=2.（I）求异面直线A1G与AB所成角的余弦值；（II）求证：A1G平面BCC1B1；（III）求直线PC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.5如图，四棱锥，底面是正方形，PB=PC=2，E，F分别是PB，CD的中点.（1）求证；（2）求二面角的余弦值.6如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等.D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点.（1）证明：平面A1CD；（2）证明：平面平面A1ABB1；（3）求直线EF与直线所成角的正弦值.7如图，在四边形ABCD中，AB/CD，ABD=30，AB2CD2AD2，DE平面ABCD，EF/BD，且BD2EF（）求证：平面ADE平面BDEF；（）若二面角CBFD的大小为60，求CF与平面ABCD所成角的正弦值8如图，在四棱锥PABCD中，PA平面，AD=CD=1，ADC=1200，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且.（1）证明：MN/平面PDC；（2）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.9在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，AC=EC=5，（1）求证：平面平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，3EM=EC，求二面角的平面角的余弦值.10如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，已知，四边形为直角梯形，AF/DE，DAF=90.（1）证明：AC平面CDE，平面ABCD平面；（2）求三棱锥EABF的体积.试卷第3页，总4页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1（1）见解析（2）34【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，为AC的中点，所以OPAC，且OP=23.连结OB.因为AB=BC=22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.（2）如图，以为坐标原点，OB的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23),取平面PAC的法向量OB=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0<a2)，则AM=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为.由APn=0,AMn=0得2y+23z=0ax+(4-a)y=0，可取n=(3(a-4),3a,-a)，所以.由已知得|cosOB,n|=32.所以23|a-4|23(a-4)2+3a2+a2=32.解得（舍去），a=43.所以n=(-833,433,-43).又，所以cosPC,n=34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=连结OB因为AB=BC=22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45所以OM=253，CH=OCMCsinACBOM=455所以点C到平面POM的距离为455【解析】分析：（1）连接OB，欲证PO平面ABC，只需证明POAC,POOB即可；（2）过点C作CHOM，垂足为，只需论证CH的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=23连结OB因为AB=BC=22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=12AC=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=12AC=2，CM=423，ACB=45所以OM=，CH=455所以点C到平面POM的距离为455点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.3（）见解析；（）.【解析】分析:方法一：（）通过计算，根据勾股定理得AB1A1B1,AB1B1C1,再根据线面垂直的判定定理得结论，（）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论，（）根据方程组解出平面ABB1的一个法向量，然后利用与平面ABB1法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（）由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB得AB1=A1B1=22，所以A1B12+AB12=AA12.故AB1A1B1.由BC=2， BB1BC,CC1BC得B1C1=5，由AB=BC=2,ABC=120得AC=23，由CC1AC，得，所以，故.因此平面A1B1C1.（）如图，过点C1作，交直线A1B1于点，连结AD.由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.学科.网由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21得cosC1A1B1=67,sinC1A1B1=17，所以C1D=3，故sinC1AD=C1DAC1=3913.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.方法二：（）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：A(0,-3,0),B(1,0,0),A1(0,-3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1),因此由AB1A1B1=0得.由AB1A1C1=0得.所以AB1平面A1B1C1.（）设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由（）可知AC1=(0,23,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2),设平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由nAB=0,nBB1=0,即x+3y=0,2z=0,可取n=(-3,1,0).所以sin=|cosAC1,n|=|AC1n|AC1|n|=3913.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.4（）74（）见解析（）75【解析】分析：（）由题意得A1B1AB，故GA1B1是异面直线A1G与AB所成的角，解三角形可得所求余弦值（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，由A1平面ABC可得AA1A1G，于是BB1A1G，又A1GB1C1，根据线面垂直的判定定理可得结论成立（）取BC的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP，OC1由PO/A1G可得PO平面BCC1B1， 故得PC1O是PC1与平面BCC1B1所成的角，然后解三角形可得所求详解： (I)A1B1AB，GA1B1是异面直线A1G与AB所成的角 A1B1=A1C1=2，G为BC的中点，A1GB1C1，在RtGA1B1中，A1GB1=90， 即异面直线AG与AB所成角的余炫值为74（II）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，A1G平面ABC， AA1A1G， BB1A1G， 又A1GB1C1，BB1B1C1=B1，A1G平面BCC1B1 （III）解：取BC的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP，OC1PO/A1G，PO平面BCC1B1， PC1O是PC1与平面BCC1B1所成的角 由已知得，PC1=22+(32)2=52,PO=A1G=72，sinPC1O=POPC1=75,直线PC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为75点睛：用几何法求求空间角的步骤：作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；证：证明作出的角为所求角；求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；作出结论，将问题转化为几何问题5(1)见解析;(2)22.【解析】试题分析：（1）由题意，可取PC中点M，连接EM,FM，则易知平面EMF平面PAD,由条件易证AB平面PAD，则AB平面EMF，又EF平面EMF，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取AD中点O为坐标原点，过O点作平行于AB的直线为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面BEF和平面EFC的法向量，结合图形，二面角BEFC为锐角，从而问题可得解.试题解析：（1）取PC中点M，连结EM，FM，ABCD是正方形，ABAD，又PA=AB=1，PB=2，ABPA，AB面PAD，ABPD，又E，F，M都是中点，EM/BC，MF/PD，AB面EMF，ABEF；（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得B1,-12,0，C1,12,0，F12,12,0，E12,-14,34，则BF=-12,1,0，EF=0,34,-34，CF=-12,0,0，设平面BEF的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1BF=0n1EF=0，即，令y1=1，则x1=2，z1=3，得n1=2,1,3，同理得平面CEF的法向量为n2=0,1,3，所以他的余弦值是22.点睛：此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.6（1）见解析（2）见解析(3) 255【解析】分析：（1）先证明EF/DA1，再证明EF/平面A1CD.(2)先证明CD面A1ABB1，再证明平面A1CD平面A1ABB1.(3)利用异面直线所成的角的定义求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值为255.详解：（1）证明：连接ED，D、E分别是AB、BC的中点，DE/AC，DE=12AC，三棱柱ABC-A1B1C1中，AC/A1C1，AC=A1C1，又F为棱A1C1的中点，A1F=DE，A1F/DE，四边形A1DEF是平行四边形，EF/DA1，又DA1平面A1CD，EF平面A1CD，EF/平面A1CD.（2）证明：D是AB的中点，CDAB，又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AA1AB=A，CD面A1ABB1，又CD面A1CD，平面A1CD平面A1ABB1；（3）解：EF/DA1，AB/A1B1，A1DA为直线EF与直线A1B1所成的角.设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为a，则AD=12a，A1D=A1A2+AD2=52a，sinA1DA=A1AA1D=255.即直线EF与直线A1B1所成角的正弦值为255.点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2)求空间的角，方法一是利用几何法，找作证指求.方法二是利用向量法.7（1）见解析（2）3311【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE平面BDEF；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.详解：（）在ABD中，ABD30，由AO2AB2+BD22ABBDcos30，解得BD，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得ADB90ADBD.又因为DE平面ABCD，AD平面ABCD，ADDE.又因为BDDED，所以AD平面BDEF，又AD平面ABCD，平面ADE平面BDEF， （）方法一： 如图，由已知可得ADB=90，ABD=30，则BDC=30，则三角形BCD为锐角为30的等腰三角形.CD=CB=1, 则CG=12.过点C做CH/DA，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则CGBD，DE平面ABCD，则CG平面BDEF.过G做GIBF于点I，则BF平面GCI，即角GCI为二面角C-BF-D的平面角，则GCI=60.则tan60=CGCI，CG=12，则GI=123.在直角梯形BDEF中，G为BD中点，BD=3，GIBF，GI=123，设DE=x ，则GF=x，SBGF=12BGGF=12BFGI，则DE=68. tanFCG=FGGC=64，则sinFCG=3311，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为3311（）方法二：可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DEh，则D(0，0，0)，B(0，0)，C(，h).，. 设平面BCF的法向量为m(x，y，z)，则mBC=0mBF=0所以-0.5x-32y=0-32y+hz=0取x=，所以m(，-1，)，取平面BDEF的法向量为n(1，0，0)，由cos<m，n>=mnmn=cos60，解得h=68，则DE=68，又,则CF=228，设CF与平面ABCD所成角为，则sin=68+228=3311.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为3311 点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.8（1）见解析；（2）14【解析】分析：（1）由题意得ABC是等边三角形，故得BM=32，于是BMMD=3，从而得BMMD=BNNP=3，所以MN/PD，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立（2）由PA平面ABCD可得BDPA，于是BD平面PAC又MN/PD，所以直线MN与平面PAC所成角即直线PD与平面PAC所成角，从而得到DPM即为所求角，然后根据解三角形可得所求详解：（1）因为AB=BC,AD=CD，所以BD垂直平分线段AC又ADC=1200，所以MD=12AD=12在ADC中，由余弦定理得AC2=DA2+DC2-2ADDCcosADC=1+1-211cos120=3，所以AC=3又AB=BC=3，所以ABC是等边三角形，所以BM=32，所以BMMD=3，又因为PN=14PB，所以BMMD=BNNP=3，所以MN/PD又MN平面PDC,PD平面PDC，所以MN/平面PDC（2）因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC,PAAC=A，所以BD平面PAC由（1）知MN/PD，所以直线MN与平面PAC所成角即直线PD与平面PAC所成角，故DPM即为所求的角在RtPAD中，PD=2，所以sinDPM=DMDP=122=14，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为14点睛：（1）证明空间中的位置关系时要注意解题的规范性和严密性，运用定理证明时要体现出定理中的关键性词语（2）用几何法求空间角时可分为三步，即“一找、二证、三计算”，即首先根据所求角的定义作出所求的角，并给出证明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函数值）9(1)见解析；（2）cosm,n=mnmn=223=63.【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得ADDC，EDDC；又由条件可得到EDAD，于是ED平面ABCD，可得EDBC，从而得到BC平面EBD，根据面面垂直的判定定理得平面EBC平面EBD（2）由题意得可得DA，DC，DE两两垂直，故可建立空间直角坐标系，结合题意可得点M的坐标为(0,23,23)，于是可求得平面MBD的法向量为m=(-1,1,1)，又BC=(-1,1,0)是平面EBD的一个法向量，求得cos<m,BC>=63后结合图形可得所求余弦值为63详解：（1）由AD=1，CD=2，AC=5，得AD2+CD2=AC2，ADC为直角三角形，且ADDC同理EDC为直角三角形，且EDDC又四边形ADEF是正方形，ADDE又AB/DCDAAB.在梯形ABCD中，过点作B作BHCD于H，故四边形ABHD是正方形，ADB=45.在BCH中，BH=CH=1，BCH=45，BC=2，BDC=45，DBC=90，BCBD.EDAD，EDDC,ADDC=D，ED平面ABCD,又BC平面ABCD，又，平面EBD，又平面EBC，平面平面EBD（2）由（1）可得DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0,0),E(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0).令M(0,y0,z0)，则EM=(0,y0,z0-1)，EC=(0,2,-1)3EM=EC，(0,3y0,3z0-3a)=(0,2,-1)点M的坐标为(0,23,23).BC平面EBD，BC=(-1,1,0)是平面EBD的一个法向量.设平面MBD的法向量为m=(x,y,z).则mDB=0mDM=0，即x+y=023y+23z=0，可得x=-y=-z.令y=-1，得m=(-1,1,1)cos<m,BC>=mBCmBC=223=63由图形知二面角M-BD-E为锐角，二面角M-BD-E的平面角的余弦值为63点睛：利用空间向量求二面角的注意点（1）建立空间直角坐标系时，要注意证明得到两两垂直的三条直线然后确定出相应点的坐标，在此基础上求得平面的法向量（2）求得两法向量的夹角的余弦值后，还要结合图形确定二面角是锐角还是钝角，然后才能得到所求二面角的余弦值这一点在解题时容易忽视，解题时要注意10（1）见解析（2）433【解析】分析：（1）通过取AD中点M，连接CM，利用CM=12AD得到直角；再利用ACEC可得AC平面CDE；再根据线面垂直判定定理即可证明。 由前面已经证明的线面垂直，可得DEAC，而DE平面ABCD，DE平面ADEF所以可得面面垂直。（2）根据等体积法，变换顶点即可求得体积。详解：（1）证明：取AD的中点M，连接CM，AB=AF=BC=2，BC/AM，由四边形ABCM为平行四边形，可知CM=12AD，在ACD中，有ACD=90，ACDC.又ACEC，DCEC=C，AC平面CDE，ED平面CDE，DEAC.又DEAD，ADDE=D，DE平面ABCD.DE平面ADEF，平面ABCD平面ADEF.（2）解：由（1）知平面ABCD平面ADEF，作BHAD，BH平面ADEF，BH=3， 连接AE，VE-ABF=VB-AEF=13SAEFBH =1312243=433.点睛：本题综合考查了线面垂直、面面垂直的判定，等体积法在立体几何中的应用等，关键注意书写的格式和步骤，属于中档题。您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。答案第15页，总15页