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概率论与数理统计浙大四版习题答案第二章 第二章 随机变量及其分布 1.一 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为P(X=3)=P(一球为3号,两球为1,2号)=1C2C532=1101C33C52P(X=4)=P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)=2310=610 P(X=5)=P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)=1C4C53也可列为下表 X： 3， 4，5 P：136, 1010103.三 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。P(X=0)=C13C15133=22352P(X=1)=C2C13C15C2C133C1521312= 35P(X=2)=1 35再列为下表 X： 0， 1， 2 P：22121, 3535354.四 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1p(0（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：（1）P (X=k)=qk1p k=1,2,（2）Y=r+n=最后一次实验前r+n1次有n次失败，且最后一次成功P(Y=r+n)=Cr+n-1qpnnr-1p=Cr+n-1qp,nnrn=0,1,2,L,其中 q=1p， k=r,r+1,L-1rk-r或记r+n=k，则 PY=k=Ckr-,1p(1-p)（3）P (X=k) = (0.55)k10.45 (0.55)k=1,22k-1P (X取偶数)=P(X=2k)=k=1k=10.45=11316.六 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？P(X=2)=C5pq225-2=C5(0.1)(0.9)=0.0729223（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？P(X3)=C5(0.1)(0.9)+C5(0.1)(0.9)+C5(0.1)=0.008563324455（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？P(X3)=C5(0.9)+C50.1(0.9)+C5(0.1)(0.9)+C5(0.1)(0.9)=0.99954332 514223（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？P(X1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951五 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值为1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去=()n-1231， n=1，2， 3（2）Y的可能取值为1，2，3 P Y=1=P 第1次飞了出去=1 3P Y=2=P 第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去 =211= 323P Y=3=P 第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去 =(3)PX<Y=2!1=3!33PYk=13=kPX<Y|Y=k=kPX<Y|Y=k=PYk=23全概率公式并注意到 PX<Y|Y=1=0=PYk=2=kPX<k注意到X,Y独立即 =PX<Y|Y=k=PX<k 1111218+=273333333同上，PX=Y=PYk=13=kPX=Y|Y=k11121419+=333932781=k=1PY=kPX=k=故PY<X=1-PX<Y-PX=Y)=3881 8.八 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求 （1）二人投中次数相等的概率。 记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)1212= (0.4)3 (0.3)3+ C30.6(0.4)C30.7(0.3)+C32(0.6)20.4C32(0.7)2.3+(0.6)3 (0.7)3=0.321 （2）甲比乙投中次数多的概率。P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)123228=C30.6(0.4)(0.3)+C3(0.6)0.4(0.3)+ 123 C32(0.6)20.4C30.7(0.3)+(0.6)(0.3)+(0.6)C30.7(0.3)+(0.6)22C3(0.7)0.3=0.243331239.十 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）解：（1）P (一次成功)=1C84=170136973)()=7070100003(（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。九 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率 （2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 （5）这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服从） （1）P X=0=0.9100.34922819（2）P X2=P X=2+ P X=1=C100.10.9+C100.10.90.581（3）P Y=0=0.9 0.590 （4）P 0(05= P 012.十三 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二：4-4P(X=8)=e=0.029770（直接计算）8!8P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)（查= 4泊松分布表）。= 0.0511340.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。 P (X>10)=P (X 11)=0.002840（查表计算）十二 (2)每分钟呼唤次数大于3的概率。PX>3=PX4=0.566530十六 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是1-e-0.4x,FX(x)=0x0x<0求下述概率：（1）P至多3分钟；（2）P 至少4分钟；（3）P3分钟至4分钟之间； （4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好2.5分钟 解：（1）P至多3分钟= P X3 =FX(3)=1-e-1.2 （2）P 至少4分钟 P (X 4) =1-FX(4)=e-1.6（3）P3分钟至4分钟之间= P 3=1-e-1.2+e-1.6 （5）P恰好2.5分钟= P (X=2.5)=00,x<1,18.十七 设随机变量X的分布函数为FX(x)=lnx,1x<e,，1,xe.求（1）P (XP(2<X<5555 =FX()-FX(2)=ln-ln2=ln22241,1<x<e,（2）f(x)=F(x)=x0,其它20.十八（2）设随机变量X的概率密度f(x)为2（1）f(x)=px（2）f(x)=2-x0-x02-1x1其它 0x<11x2 其他求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当1x1时：2F(x)=0dx+-1-1x21121-xdx=x-x+arcsinx22-12X=1112x-x+arcsinx+2当1-1-0dx+2-11-xdx+20dx=11x01112F(x)=x-x+arcsinx+21x<-1-1x1 1<x解：（2）F(x)=P(Xx)=x-f(t)dt当x<0时,F(x)=x-0dt=0当0x<1时,当1x2时,当2<x时,xF(x)=0dt+tdt=-02 x2F(x)= -0dt+1 tdt+x1(2-t)dt=2x-x-122 F(x)= -0dt+1 tdt+21(2-t)dt+x20dt=1故分布函数为0x22F(x)=2x2x-121x<00x<1 1x22<x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下x22.二十 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：1000f(x)=x2 x>1000其它 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为P(X>1500)=1-P(X1500)=1-=1-(1-22)=33150010001000x21dx=1-1000(-)x15001000 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则YB(5,2)，3214151P(Y2)=1-P(Y<2)=1-P(Y=0)+P(Y=1)=1-()+C5()()333=1-1+5235 =1-11243=23224323.二十一 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：1-x5FX(x)=5e,x>00,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为P(X>10)=+10fX1(x)dx=55k+10e-x5dx=-e-x5+10=e-2 因此YB(5,e-2).即P(Y=k)=e-2k(1-e-2)5-k,(k=1,2,3,4,5P(Y1)=1-P(Y<1)=1-P(Y=0)=1-(1-e=1-0.86775-2)=1-(1-5155)=1-(1-0.1353363)7.389=1-0.4833=0.5167.24.二十二 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2+4xK+K+2=0有实根的概率1 K的分布密度为：f(K)=5-000<K<5其他 要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。 解不等式，得K2时，方程有实根。 P(K2)=+2f(x)dx=521dx+5+50dx=3 525.二十三 设XN（3.22）（1）求P (22，P (X>3) 若XN（，2），则P (- 5-32-3P (222=0.84130.3085=0.5328 10-3-4-3P (422=0.99980.0002=0.9996P (|X|>2)=1P (|X|=1-F 2-3-2-3-F 22=1(0.5) +(2.5) =10.3085+0.0062=0.6977 P (X>3)=1P (X3)=13-3=10.5=0.5 2（2）决定C使得P (X > C )=P (XC) 得 又 P (X > C )=1P (XC )= P (XC) P (XC )=1=0.5 222C-3C-3=0 C =3 P (XC )=0.5,查表可得26.二十四 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,122)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）P (X105)，P (100x) 0.05. 解:(1)P(X105)=F(105-110)=F(-0.4167)=1-F(0.4167)=1-0.6616=0.3384 12120-110100-11055P(100<X120)=F()-F()=F()-F(-)1212665)-1=2F(0.8333)-1=20.7976-1=0.59526 =2F(2)P(X>x)=1-P(Xx)=1-F(查表得x-110x-110)0.05F()0.95.1212故最小的X=129.74.x-1101.645.x110+19.74=129.74.12 27.二十五 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为XPX不属于(10.050.12, 10.05+0.12)=1P (10.050.12(10.05+0.12)-10.05(10.05-0.12)-10.05-F0.060.06=1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求P (120X200=0.80，允许最大为多少？ P (120X200)=F200-160120-1604040-F=F-F-=0.80 又对标准正态分布有(x)=1(x) 上式变为F 解出F4040-1-F0.80 40F0.9 40便得:再查表，得401.28140=31.25 1.28130.二十七 设随机变量X的分布律为： X：2，P：1， 51， 0，1， 31130111， ， ， 6515求Y=X 2的分布律 Y=X 2：(2)2 P：1 5(1)21 6(0)2 (1)2 (3)21130 11 515再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： Y： 0 P：14911301111+ 6155531.二十八 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e的分布密度 X的分布密度为：f(x)=010<x<1 x为其他X Y=g (X) =eX是单调增函数 X=h (Y)=lnY，反函数存在 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1又 且b=maxg (0), g (1)=max(1, e)= e1fh(y)|h(y)|=1 Y的分布密度为：(y)=y01<y<ey为其他 （2）求Y=2lnX的概率密度。 又 且Y= g (X)=2lnX 是单调减函数X=h(Y)=e-Y2反函数存在。 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= +yy1-21-2e=efh(y)|h(y)|=1- Y的分布密度为：(y)=2200<y<+y为其他 32.二十九 设XN（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是f(x)=X12e-x22,-<x<+Y= g (X)=e 是单调增函数 又 且X= h (Y ) = lnY 反函数存在 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为：(lny)-112fh(y)|h(y)|=e(y)=y2020<y<+y为其他 （2）求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y），则 FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) 26=P-y-12Xy-1 2当y当y1时：Fy(y)=P-y-12y-1=2y-12y-12X-12e-x22dx故Y的分布密度( y)是：当y1时：( y)= FY ( y) = (0) =0y-1当y>1时，( y)= FY ( y) =-1212pe-x22y-12dx =e-y-142(y-1) （3）求Y=| X |的概率密度。 Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y) 当y当y0时，FY ( y)=P (| X |y )=P (yXy)= Y的概率密度为：当y0时：( y)= FY ( y) = (0) =0当y>0时：( y)= FY ( y) =dx=y-y12e-x22dxy-y12e-x222e-y22 33.三十 （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 又 且Y=g (X )= X 3 是X单调增函数，1X=h (Y ) =Y3，反函数存在， = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为：12( y)= f h ( h )| h ( y)| = f(y3 1-3)y,-<y<+,但y0 327y(0)=0（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。e-x法一： X的分布密度为：f(x)=0x>0x0 Y=x是非单调函数当 x2 22y Y fY (y) = f(-y)(-y)+f(y)(y)1-e0+=2y0y=21ye-y,y>0y0 法二：YFY(y)=P(Yy)=P(-y<Xy)=P(Xy)-P(X-y)00ye-xdx+0=1-e-y,y>0y0 -1e Y fY (y) =2y0y,y>0.y0. 34.三十一 设X的概率密度为2xf(x)=200<x<x为其他 求Y=sin X的概率密度。 FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy) 当y当0y1时：FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX) =当1 28arcsiny2x2 dx+2x2-arcsinydx Y的概率密度( y )为： y0时，( y )= FY ( y) = (0 ) = 00arcsiny2x2 dx+2x2-arcsinydx =2-y2 1y时，( y )= FY ( y) = (1) = 036.三十三 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有TN（98.6，2），试求()的概率密度。已知=5(T-32) 9法一： T的概率密度为f(t)=12p2e-(t-98.6)222,-<t<+又 =g(T)= T=h()=5(T-32) 是单调增函数。 99+32 反函数存在。 5且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= + 的概率密度()为(95+32-98.6)42()=fh()|h()|=12910e2-9 581(-37)1002=e,-<<+法二：根据定理：若XN（1， 1），则Y=aX+bN (a1+b, a2 2 ) 由于TN（98.6, 2）253335251601605N98.6-,2=N,2 故 =T-9999999故的概率密度为：29-333q-922y(q)=2p1592e5229=910e-81(q-37)1002,-<q<+ 30 44