高数期末考试试题.pdf

南开大学 2008 级物理类高等数学统考试卷 2009 年 1 月 8 日 一、求极限：（共三道题，每小题 6 分） (1) )213(lim 22 nnnn n (2) 2/1 0 )sin(lim xx x x (3) xxx x e /110 )12(lim 二、（ 10 分）求隐函数 xyxexy 2 在 (1,0)点的切线方程 . 三、（ 9 分）求函数 xxxy )1( 2 的一阶导数 . 四、 (共两道题，每小题 9 分）求下列不定积分： (1) dxex x (2) 22 1)3( xx xdx 五、（共两道题，每小题 9 分）求下列定积分： (1) 4/ 0 sin1 xdx (2) 1 0 )1ln( dxx 六、（ 10 分）设 x x tt dty sin 21 ，求 dxdy . 七、（ 10 分）设 ,eyx 证： yx xy . 八、（ 7 分）设 )(xf 在 0, 1上连续，在 (0, 1)内可导，且 ),1()0( ff 证：对 ,.,3,2n 存在 1.0 21 n ,使 n i if1 0)( 南开大学 2009 级物理类高等数学统考试卷 2009 年 1 月 8 日 一、计算下列各题：（共 30 分 ,每小题 10 分） 1、 试求 a 的值，使函数 0 01s in xea xxxxf x 在 0x 处连续。 2 、 设 函 数 xvxu , 在 , 上 可 导 ， 且 ,0 xxu ，求函数 xvxuxy sin 的导数。 3、 计算不定积分 dxx lnsin . 二、求函数 12 xxxf 在区间 2,0 上的最大值和最小值。（ 10 分） 三、讨论函数 21 xaxf 的单调性和凹凸性，其中 1a 。（ 10 分） 四、计算定积分 dx x xxx 1 1 2 22 1 t a na r c t a n ，（ 15 分） 五、计算极限 20 2 0 cos1 sinsin lim x dttx x x 。（ 15 分） 六、设函数 xf 在区间 ba, 内可导，证明：函数 xf 在区间 ba, 内可导，其 中 1 . 七、设函数 xgxf , 在闭区间 ba, 上连续，且 dxxfb a =0，证明：存在 ba, ， 使 0 dxxfgf a . 南开大学 2010 级物理类高等数学统考试卷 2011 年 01 月 17 日 一、求下列极限（ 18 分 =9 2）： (1) )ln)1(ln (lim xxx x (2) 20 3coscoslim x xxx 二、（ 12 分 =6 2） (1)求函数 xxy sin 的导数； (2) 设隐函数 )(xyy 由方程 xyyx 33 确定，求 dxdy . 三、（ 12 分 =6 2）求下列不定积分： (1) )1( xxdx (2) dxxxx x 22 1 23 四、（ 18 分 =9 2）计算： (1) dx x xx 11 2 23 4 )2(a rc s in (2) 2 0 0 3 0 sinlim x x x tdt dtt 五、（ 12 分）给定曲线 922 xxy ，确定 b ，使得直线 bxy 为该曲线的切线。 六、（ 12 分）证明不等式 )1(2)1ln ( 2 xxxx ， ),0( x . 七、（ 10 分）设 )(xf 在 , ba 上连续，在 ),( ba 内可导 ( ba0 )， )()( bfaf ， 证明存在 ),(, ba ，使得 )(ln2 )( 22 f ab a bf . 八、（ 6 分）设函数 )(xf 在 ),( 上连续，函数 dttfxfx x 0 )()()( 单调递减 , 证明： ),(,0)( xxf . 南开大学 2011 级 物理类 高等数学统考试卷 2012 年 1 月 9 日 一、求下列极限（ 20 分 =54）： (1) nnnnn 3lim (2) 13 1 )ln1(lim xx x (3) xxxx 1s in1co tlim 0 (4) )1ln ()co s1( 1co ss in3lim 2 0 xx xxx x 二、（ 10 分）设函数 )(xyy 由 23 )1ln( tty ttx 确定，求 .dxdy 三、（ 10 分）求曲线 yxy ln 在点 ),1( ee 处的切线方程 . 四、（ 10 分）求函数 xxxf )( 在 ),0( 上的最小值 . 五、（ 10 分）求曲线 )1ln( 2x 的凹凸区间和拐点 . 六、（ 10 分）（ 10 分 =5 2）求下列不定积分： (1) ;cos dxx (2) dxx xx 1arctan 2 2 七、（ 10 分 =5 2）计算： (1) 1 0 1 12 dxxx (2) dxxxx 22 223 c o ss in 八、（ 8 分）设 ,0,0 ,0,)()( x xx exgxf x其中 )(xg 有二阶导数，且 1)0( g ， 1)0( g . (1)求 )(xf ； (2)讨论 )(xf 在 ),( 上的连续性 . 九、（ 6 分）设函数 )(xf 在闭区间 1,1 上具有连续的三阶导数，且 ,0)1( f .0)0(,1)1( ff 求证：在开区间 )1,1( 内至少存在一点 , 使得 .3)( f 十、（ 6 分）设 )(xf 在 )0(, aba 上连续，且 0)( dxxfb a .求证：存在 ),( ba 使得 ).()( fdxxf a 南开大学 2012 级 物理类 高等数学统考试卷 2013 年 1 月 7 日 一、求下列极限（ 15 分 =53）： (1) nnn n 12lim 2 (2) x xx x cos1 11lim 23 2 0 (3) )21l n ()11( 1 1a r c t a n)( lim 232 t a n 0 xxxx x xee xx x 二、（ 10 分）设 )(xyy 是由方程 xydtex y t 1 22 所确定的隐函数，求 dxdy 及 .0xdxdy 三、（ 10 分）已知参数方程 ),2arcsin( ,2sin2 ty ttx 求 dxdy . 四、（ 20 分 10 2）求下列不定积分： (1) ;1 2 arctan dxxe x (2) .)1ln( 2 dxx x 五、（ 20 分 =10 2）计算定积分： (1) 1 1 23 1)1( dxxx (2) 20 2sin xdxex 六、（ 10 分）设 ,0,0 ,0,)( xxxxfy x 讨论 )(xf 的连续性，并求单调区间、 极值与渐近线 . 七、（ 5 分）已知 )(xf 为连续函数 , 且 1)0( f , 求极限 xx dttxfxx x sin )(lim 0 2 0 . 八、（ 5 分）设 )(xf 在 , ba 上连续，在 ),(ba 内可导，且有 aaf )( ， )(21)( 22 abdxxfba ， 求证：在 ),( ba 内至少有一点 ，使得 1)()( ff . 九、（ 5 分）求 . )(1 2 dxex xex x 南开大学 2013 级 物理类 高等数学统考试卷 2014 年 1 月 7 日 一、求下列极限（ 15 分 =53）： (1) 2lim 3 2 n nn n (2) xx x ex 1 0 )(lim (3) 20 )1ln ( s in1t a n1lim xxx xxx 二、（ 10 分）设 )(xyy 是由方程 xye yx cos 所确定的隐函数，求 0xdy 三、（ 10 分）求曲线 tey tex t t cos2sin 在点 )1,0( 处的法线方程 . 四、（ 20 分 10 2）求下列不定积分： (1) ; 11 dxex (2) .sinsinln 2 dxxx 五、（ 20 分 =10 2）计算定积分： (1) 44 sin1 1 dxx (2) 1 0 )1ln( dxx 六、（ 10 分）已知 bxaxxxf 23)( 在 1x 处有极值 2 ， （ 1）试确定系数 ba, ，并求 )(xfy 的所有极值，凹凸区间和拐点 . （ 2）计算由平面区域 0)(,10),( yxfxyxD 绕 x 轴旋转一周所生成的 旋转体的体积 . 七、（ 7 分）设函数 )(xf 在 3,0 上连续 , 在 )3,0( 内有二阶导数，且 20 ).3()2()()0(2 ffdxxff 证明：存在 ),3,0( 使得 0)( f . 八、（ 8 分）设 0)( 0s i n1 01c o s2c o sc o s11 )( 1 lim lim x,xf x,dx x x x,x n n n x n x n xf n nn n ， （ 1）讨论 )(xf 在 0x 的连续性，可导性，可导时求出导数 )0(f ； （ 2）求函数 )(xf 在 , 上的最大值 . 2014 级一元函数微分统考试卷 2014 年 11 月 29 日 一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）： 1. 1x 是函数 2 1() 1xfx x 的 _间断点 . A可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 第二类间断点 D. 以上都不是 . 2. 要使 0 0 0 ,s in ,1 , x x x bx xa be xf ax 在 x=0 处连续 , a,b 的取值为 _. A a=1, b=1； B. a=1,b=0; C. a=0,b=1； D. a=0, b=0. 3. 假设 2)1()( xxf ，则 )( xff A. 232 x ； B. 222 x ； C. 314 x ； D. xx 22 2 4. 30 sinlim 3x xxx =_， A 13 ； B 1 ； C 0 ； D 5. 可导的 偶函数的导数是 _， A. 偶函数； B. 奇函数； C. 非奇非偶函数； D. 不确定 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） : 1. 请指出间断点的类型 : x=0 是函数 1( ) sinfx x 的 间断点 . 2. 2lim(1 )x x x = _ 3. 若 )1arct an ()( 2xxf ，则 )(xf _ 4. 若 11)(ar ct an 2 ttf ，则 )6(f 5. f(x)在 a 处可导 ,导数为 f(a), 则 h afhafh )()2(lim 0 三、计算下列各题（每小题 5 分，共 20 分） （ 1）求极限 21 2sinlim xxxx . （ 2）求由方程 )ln ()(=2 yxyxxy - 所确定的隐函数 )(= xyy 的微分 dy . （ 3）一根线长 200,要用它构成一个正方形和一个圆形 ,问如何分配 ,才能使它构成 的图形面积和最小 ? （ 4）设 )(xf 在 1=x 处连续，且 2=1)(lim 1 - x xfx ，求 )1(f . 四、设 )(sin xtftx ty ，其中 f 为可导函数，求 .dxdy （ 7 分） 五、已知 )(xf 在 ),( 内可导，且 ,)(lim exfx )1()(limlim xfxfcx cx xxx 。 求 c 的值 .（ 7 分） 六、设 xy0 , 1p ,试用微分中值定理证明： )()( 11 yxpxyxyxpy pppp .（ 7 分） 七、设函数 ()fx在 =0 x 处 有二阶 导数，且 0 ()lim 0 , (0 ) 2x fx fx ，求 1 0 ()lim1 x x fxx . （ 7 分） 八、证明方程 xxx cos2141 在 , 内只有两个实根。（ 6 分） 九、设函数 ()fx在 (, )ab 内可导，且 ()fx 单 调，求证： ()fx 在 (, )ab 内连续 . （ 6 分） 2014 级一元函数积分统考试卷 2015 年 1 月 19 日 一、选择题（共 6 题，每小题 5 分，共 30 分）： 1. 43 xxdx = A Cx 3arcsin32 1 2 B. Cx 3arcsin21 C. 2arcsin 321 x D. Cx 3arcsin21 2 2. 设 21210 xfdttf x ,则 xf A. 2xe B. 221xe C. xe2 D. xe221 3. xdxxcos A. Cxxx cossin B. Cxxx cossin C. Cxxx cossin D. Cxxx cossin 4. 30 2 0 sin lim x dttx x = A. 0 B. 1 C. 31 D. 5. 设 ba, 是两个非零向量，则下列命题中必能推出 ba 结论的是 A. 222 baba B. baba C. bababa D. 2222 bababa 6. 过空间直角坐标系原点，且法向量为 1,1,1n 的平面方程是 A 01 zyx ， B. 01 zyx C. 0 zyx D. 02 zyx 二、填空题（共 6 题，每题 5 分，共 30 分） 1. 设 xf 的一个原函数是 xsin ，则 dxxf 2. 已知 xf 的一个原函数为 xxsin , 则 dxxfx 2 3. 22 ax dx = 4. 曲 线 xy ln 与两直线 xey 1 及 0y 所围平面图形的面积是 5. 5 5 24 23 12sin xx xdxx 6. 已知 |a|=4, |b|=3 ，求 l 使得 a+lb 与 a-lb 垂直 _ 三、设 ()Fx 是 ()fx 的一个原函数 , 2(1) 4F . 若当 0 x 时，有 a r c ta n( ) ( ) (1 )xf x F x xx , 试求 ()fx .（ 6 分） 四、已知函数 f()x 连续， 0 ( ) 1 c o s x t f x t d t x ，求 2 0 ()f x dx .（ 6 分） 五、设 Cxdxxxf a r c s in，求 xfdx 。（ 6 分） 六、 .计算 2 0 6 )s in1()( dxxx （ 6 分） 七、 计算极限 )1ln (a rc t a nlim 2 2 0 s in 0 xx dtee x tx x （ 4 分） 八、求函数 dtetxxf tx 0 在区间 1,0 上的最大值和最小值。 （ 4 分） 九、 设函数 ()fx在 , ab 上连续且严格单调增加，求证 dxxfbadxxxf b a b a 2。（ 4 分） 十、设函数 ()fx是 0,1 上的非零连续函数，且 1 0 ( ) 0f x dx ， 01 0 dxxxf ， 试证：在区间 1,0 内 ()fx至少有两个零点。 （ 4 分） 2015 级一元函数微分统考试卷 2015 年 11 月 28 日 一、选择题（每小题 6 分，共 24 分） 1.函数 0,c o s 0,c o s)( xx xxxf 在 0x 处的左、右极限是 ( ) A. 左、右极限均为 1 B. 左、右极限均为 1 C. 左极限为 1，右极限为 1 D. 左极限为 1 ，右极限为 1 2. x ex x sin 1lim 0 ( ) A.0 B. 1 C.21 D. 3. 1x 是函数 23 1)( 2 2 xx xxf 的 ( ) A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D. 以上 都不是 4.设 1, 1,32)( 2 2 xx xxxf ，则 )(xf 在 1x 处 ( ) A. 左右导数都存在 B. 左导数存在，右导数不存在 C. 左导数不存在，右导数存在 D. 左右导数都不存在 二 、 填空 题（每小题 6 分，共 24 分） 1.设 1 x xeey ，则 dy _. 2.设隐函数 )(xyy 由方程 xyyx ln2 确定，则 y _. 3. 函数 2)3( xxy 在区间 3,0 上的最大值是 _. 4.曲线 2 3)1( )1( xxy 的斜渐近线是 _. 三、求函数 )3(2 xxy 的单调区间和极值点。（ 10 分） 四、求曲线 xxey 的凹凸区间及拐点。（ 10 分） 五、设方程 02sin 123 2 yyt tte x 确定 y 为 x 的函数，其中 t 为参变量，求 0tdx dy .（ 10 分） 六、求 20 11 1sinlim xxe x x .（ 10 分） 七、证明不等式 xx xx 1 2 1 )0( x .（ 6 分） 八、设 )(xf 在 , 21 xx 上可导，且 210 xx ，试证： ),( 21 xx 内至少存在一个 ， 使 21 1221 )()()()( xx xfxxfxff .（ 6 分） 2015 级一元函数积分学统考试卷 2016 年 1 月 5 日 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1.设 )()( xfxF ,则下列函数中是 )( dxxfdxd 的原函数的是（ ）。 A. )(xf B. )(xF C. )(xf D. dxxf )( 2. 由 1)( 2 xxf 和 3)( 2 xxg 所围图形的面积是（ ）。 A.38 B.34 C. 316 D. 310 3. 不定积分 xx dxln1 等于（ ）。 A. Cx ln1 B. Cx ln12 C. Cx ln121 D. C x ln1 1 4. 定积分 1 1 21sin dxxx 等于（ ）。 A. 0 B. 1 C. 1 D. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 不定积分 dxxex = 。 2. 设 Cxedxxf x )( ,则 )(xf = 。 3. 已知 x xdttf 0 32)( ,则 1 0 )( dxxf = 。 4. 定积分 e dxx x 1 ln1 = 。 三、计算下列积分（每题 8 分，共 24 分） 1. )1( 2xx ee dx 2.1 0 arctan xdxx 3. 24 cos1 xdx 四、计算 xxf )( 和 xxxg sin)( )0( x 所围图形的面积。（ 8 分） 五、计算不定积分 dx xxx x 2 2 2 11arcs in （ 8 分） 六、设 )(xf 二阶可导， 1)0(,0)0( ff ，求极限 40 32 0 )(lim x dttttfx x .（ 8 分） 七、设 ()fx在 1,0 上可导， 0)1()0( ff ，且在 1,0 上 Mxf )( ，求证 4)(10 Mdxxf （ 6 分） 八、 设 ()fx在 0,1 上可导， 2 0( ) ( )dxF x t f t t ，且 (1) (1)Ff ， 证明：至少存在 一点 (0,1) ，使得 2 ( )() ff 。（ 6 分） 2016 级一元函数微分统考试卷 2016 年 11 月 12 日 一、选择题（每小题 6 分，共 24 分） 1. 0 x 是函数 () 1 xxfx e 的 _间断点 . A 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 第二类间断点 D. 以上都不是 . 2. 如果函数 1 a r c sin ,0 2 ( ) 0 0 1 + , 0 x x ax x f x x x b x 在 0x 处连续， 则 _. A. eba 1,21 ; B. eba 1,1 ; C. eba ,21 ; D. eba ,1 . 3. sinlim x xxx _. A. 0; B. 1; C. 2; D. 不存在 . 4. 当 时，函数 的极限 _. A. 为 ； B. 等于 0 ； C. 等于 2 ； D. 不存在，但不为 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） : 1. 设 y= , 则 _ . 2. 函数 y=y(x)由方程 10ye xy 所确定 且可导 ，则 _. 3. 1 ( )( ) , ( ) ( 1 ) 1gxg x h x e h 设 函 数 在 内 二 阶 可 导 , ，, (1) 2, (1) 3gg ， (1)=g则 _. 4. 曲线 12 2 xxy 的斜渐近线方程为 . 三、计算下列各题（每小题 8 分，共 24 分） （ 1） 求极限 0 1lim( 1)1xx x e . （ 2） 试确定常数 ,ab，使函数 在 x=1 处可导。 （ 3） 求椭圆 c o s , s i n ( , 0 ) t = 4x a t y b t a b 在 处 的切线方程及法线方程。 四 、 设曲线为 325 3 5y x x x ，试确定 该曲线的凹、凸性及其拐点 .（ 8 分） 五 、 求极限 11 cos 0 sinlim( ) x x xx 六 、 试求函数 2 2() xf x x e 的单调区间、极值 以及最值 。（ 8 分） 七 、 证明不等式 :(1) 1 ln (1 ) .x x x 当 时 ， 有 （ 2 分） （共 6 分） (2) 利用 (1)的结论 （仅限此方法） ，证明对任意 n 个正数 naaa , 21 ， 有 n aaaaaa nn n 2121 （ 4 分） 八 、 设 ()fx在 0 x 的某邻域内有连续的一阶导数，且 (0) 0, (0)ff 存在，证 明： 30 ( ) ( l n (1 ) ) 1l i m (0 )2x f x f x fx （ 6 分）