反比例函数一次函数二次函数性质及图像

反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线    反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K0）。2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一种象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一种象限内,y随x的增大而增大。2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x0；值域为y0。 3.由于在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，因此反比例函数的图象不也许与x轴相交，也不也许与y轴相交。 4. 在一种反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点有关原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4k·m（不不不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数有关正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且有关原点中心对称. 10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重叠，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 一次函数（一） 函数1、拟定函数定义域的措施： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式具有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式具有二次根式时，被开放方数不小于等于零； （4）关系式中具有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际状况相符合，使之故意义。（二） 一次函数1、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是，要判断一种函数与否是一次函数，就是判断与否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数涉及正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k>0时，直线y=kx通过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx通过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小(1) 解析式：y=kx（k是常数，k0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0时，图像通过一、三象限；k<0时，图像通过二、四象限(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴3、一次函数及性一般地，形如y=kxb(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kxb即y=kx，因此说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) k不为零 x指数为1 b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是通过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-，0） （3）走向： k>0，图象通过第一、三象限；k<0，图象通过第二、四象限 b>0，图象通过第一、二象限；b<0，图象通过第三、四象限直线通过第一、二、三象限 直线通过第一、三、四象限直线通过第一、二、四象限 直线通过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小4、一次函数y=kxb的图象的画法.根据几何知识：通过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点拟定一条直线，因此画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般状况下：是先选用它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0通过第一、二、三象限通过第一、三、四象限通过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0通过第一、二、四象限通过第二、三、四象限通过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kxb的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）正比例函数一次函数概 念一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数一般地，形如y=kxb(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，因此说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范 围X为全体实数图 象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-，0）走 向k>0时，直线通过一、三象限；k<0时，直线通过二、四象限k0，b0,直线通过第一、二、三象限k0，b0直线通过第一、三、四象限k0，b0直线通过第一、二、四象限k0，b0直线通过第二、三、四象限增减性k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）倾斜度|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的平 移b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.6、正比例函数和一次函数及性质7、直线（）与（）的位置关系（1）两直线平行且（2）两直线相交（3）两直线重叠且（4）两直线垂直8、用待定系数法拟定函数解析式的一般环节：（1）根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几种点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a0）的形式，因此解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相称于已知直线y=ax+b拟定它与x轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一种一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a0）的形式，因此解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范畴.11、一次函数与二元一次方程组 （1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点构成的图象与一次函数y=的图象相似.（2） 二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可觉得零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的构造特性： 等号左边是函数，右边是有关自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的基本形式 一般式： 顶点式： 零点式：图像定义域对称轴顶点坐标值域单调区间递减递增递增递减当时，二次函数的图像和轴有两个交点，线段当时，二次函数的图像和轴有两个重叠的交点特别地，当且仅当时，二次函数为偶函数1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移环节：措施一： 将抛物线解析式转化成顶点式，拟定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移措施如下： 2. 平移规律 在原有函数的基本上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 措施二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的体现形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：运用配措施将二次函数化为顶点式，拟定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选用的五点为：顶点、与轴的交点、以及有关对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组有关对称轴对称的点）.画草图时应抓住如下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表达措施1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表达二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数拟定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧的符号的鉴定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都拟定，那么这条抛物线就是唯一拟定的二次函数解析式的拟定：根据已知条件拟定二次函数解析式，一般运用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择合适的形式，才干使解题简便一般来说，有如下几种状况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相似的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式体现 1. 有关轴对称 有关轴对称后，得到的解析式是； 有关轴对称后，得到的解析式是； 2. 有关轴对称 有关轴对称后，得到的解析式是； 有关轴对称后，得到的解析式是； 3. 有关原点对称 有关原点对称后，得到的解析式是； 有关原点对称后，得到的解析式是； 4. 有关顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 有关顶点对称后，得到的解析式是；有关顶点对称后，得到的解析式是 5. 有关点对称 有关点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的体现式时，可以根据题意或以便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先拟定原抛物线（或体现式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再拟定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的体现式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点状况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊状况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一种交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，均有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，均有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题措施总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要运用配措施将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象有关对称轴对称，可运用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一种交点坐标，可由对称性求出另一种交点坐标.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一种交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看，一元二次不等式的解集就是二次函数的图像上，位于轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式的解集就是二次函数的图像上，位于轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式的解集就是二次函数的图像上，位于轴上方的点和与轴的交点的横坐标的集合；一元二次不等式的解集就是二次函数的图像上，位于轴下方的点和与轴的交点的横坐标的集合一元二次方程的解就是二次函数的图像上，与轴的交点的横坐标