物理学第3版习题解答第8章光的波动性.pdf

第八章习题解答 8 - 1 一 物体 沿 x 轴 作简 谐振 动， 振幅 为 0 . 1 2 m ， 周期 为 2 s 。 当 t = 0 时 ，位 移为 0 . 0 6 m ， 且 向 x 轴 正方 向运 动。 求： ( 1 ) 初 相； ( 2 ) t = 0 . 5 s 时 ，物 体的 位置 ； ( 3 ) 在 x = - 0 . 0 6 m 处 ， 且 向 x 轴 负向 方向 运动 。物 体从 这一 状态 回到 平衡 位置 的最 短时 间。 解 ： （ 2 ） = = T 2 r a d / s 0 . 5 s 对 应的 转过 角度 为 2 ， 所 以 物 体的 位置 为 x 轴 正方 向 3 0.06 m 处 。 8 - 2 有 一物 体沿 x 轴 做振 幅为 A 的 简谐 运动 ， 振 动表 达式 为余 弦函 数 。 若 0 = t 时 物体 的运 动 状态 分别 为 ： （1 ） A x = 0 ； （ 2 ） 过 平衡 位置 向 x 正 方向 运动 ； （3 ） 过 2 A x = 处， 且 向 x 负 方向 运动 。试 用旋 转矢 量图 分别 确定 相应 的初 位相 。解 （ 1 ） = ； （2 ） 2 = ； （3 ） 3 = 。 相量 图如 下 图 所示 。 习题 8 8 8 8 . 2 . 2 . 2 . 2 用图 8 - 3 一 个质 点同 时参 与两 个在 同一 直线 上的 简谐 运动 ，其 表达 式为 ) 6 2 c os ( 04 . 0 1 + = t x ) 6 2 c os ( 03 . 0 2 = t x 试 写出 合振 动的 表达 式。 解 合 振动 的振 幅为 m 06 . 0 6 6 c os 04 . 0 03 . 0 2 03 . 0 04 . 0 ) c os ( 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 = + + = + + = A A A A A 合 振动 的位 相为 ( ) ( ) ( ) ( ) 08 . 0 6 c os 03 . 0 6 c os 04 . 0 6 s i n 03 . 0 6 s i n 04 . 0 a r c t a n c os c os s i n s i n a r c t a n 2 2 1 1 2 2 1 1 = + + = + + = A A A A 合 振动 的表 达式 为 ( ) ( ) 08 . 0 2 c os 06 . 0 c os + = + = t t A x A A A A x y O （ 1 ） A A A A x y O 2 （ 2 ） A A A A x y O 3 （3 ）8 - 4 一 简谐 波在 介质 中沿 x 轴 正方 向传 播， 振幅 0 . 2 A m = ， 周期 0 . 2 T s = ， 波长 5 m = . 当 0 = t 时 刻， 波源 振动 的位 移为 正方 向的 最大 值。 把波 源的 位置 取为 坐标 原点 ，求 （ 1 ） 这 个简 谐波 的波 函数 ； （2 ） 1 2 t T = 时 刻， 4 1 = x 处 质元 的位 移。 解 （ 1 ）沿 x 轴 正方 向传 播的 简谐 波的 波函 数为 + = + = x t x t A y 5 2 2 . 0 2 c os 2 . 0 2 c os 其 中 代 表初 位相 ，待 求。 由题 设条 件， 有 c os 2 . 0 2 . 0 = 即 得 0 = 。 因此 ，所 求波 函数 为 m x t y ) 4 . 0 10 c os ( 2 . 0 = （ 2 ） 2 1 T t = 时 刻， 4 1 = x 处 质元 的位 移为 m x t y 0 ) 5 . 0 c os ( 2 . 0 ) 4 . 0 10 c os ( 2 . 0 = = = 8 - 5 如 图 8 - 3 5 ， 已 知 A 点 的振 动方 程为 1 c o s 4 ( ) 8 A y A t = 。 A 点 与 B 点 相距 1 x ， 在 下列 情 况下 试求 波动 方程 ： ( 1 ) 以 A 为 原点 ； ( 2 ) 以 B 为 原点 ； ( 3 ) 若 u 沿 x 轴 负向 ，以 上两 种情 况又 如何 ？ 1 x B B B B A A A A x . . . . . . . . 图 8 - 3 5 习 题 8 - 5 用 图 本题需补充一平面简谐波以速度 - 1 s m 20 = u 沿直线传播 解 ： （1 ） 以 A 为 原点 m 1 0 = = u T ， 根据 ) ( 2 c o s + = x T t A y ， 有 2 ) 10 5 . 0 ( 2 c os = x t A y ( 2 ) 以 B 为 原点5 2 1 x x x A B A B = = ) 2 5 4 c os ( 1 + = x t A y B 2 5 ) 10 5 . 0 ( 2 c os 1 + = x x t A y ( 3 ) 若 u 沿 x 轴 负向 以 A 为 原点 2 ) 10 5 . 0 ( 2 c os + = x t A y 以 B 为 原点 5 2 1 x x x A B B A = = 2 5 ) 10 5 . 0 ( 2 c os 1 + = x x t A y 8 - 6 如 图 8 - 3 6 为 一简 谐波 在 0 = t 时 刻的 波形 曲线 ， 设 此简 谐波 的频 率为 5 0 H z ， 图 中质 点 p 正 向上 运动 ，求 （ 1 ） 此简 谐波 的波 函数 ； （ 2 ） 在距 原点 O 为 m 5 . 7 处 质点 振动 的表 达式 。 图 8 - 3 6 习 题 8 - 6 用 图 解 （ 1 ） 因 质 点 p 正 向 上 运 动 ， 则 此 简 谐 波 沿 x 轴 反 方 向 传 播 。 已 知 m A 2 0 . 0 = ， s / 100 50 2 r ad = = ， m 0 . 2 0 = ， 则 波 函数 的表 达式 为 ) 0 . 20 2 100 c os ( 20 . 0 + + = x t y 原 点 O 处 质点 振动 的初 位相 待 求 。 由 题图 可知 ， 在 0 = t 时 刻原 点 O 处 质点 的运 动状 态为 m y 01 . 0 0 = ， 0 0 < v 即 有 m x m y 0 . 1 0 0 . 2 0 p 0 . 1 0 O2 1 c os = ， 0 s i n < 因 此 3 = 此 简谐 波的 波函 数为 ) 3 10 100 c os ( 20 . 0 + + = x t y （ 2 ） 在距 原点 O 为 m 5 . 7 处 质点 振动 的表 达式 为 ) 12 13 100 c os ( 20 . 0 ) 3 10 5 . 7 100 c os ( 20 . 0 + = + + = t t y 8 - 7 如 图 8 - 3 7 所 示 ， A 、 B 两 点为 同一 介质 中两 相干 波源 ， 其 振幅 皆为 5 c m ， 频 率皆 为 1 0 0 H z 。 当 点 A 为 波 峰 时 ， 点 B 恰 为 波 谷 . 设 波 速 为 1 10 m s ， 试 写 出 由 A 、 B 发 出 的 两 列 波 传 到点 P 时 干涉 的结 果。 8 - 8 波 长为 5 8 9 . 3 n m 的 钠光 照在 一双 缝上 ， 在 距双 缝 2 0 0 c m 的 观察 屏幕 上测 量 1 0 个 条纹 的 宽 度为 2 . 2 c m ， 试计 算双 缝之 间的 距离 。 解 ： 根 据 D x d = 有 5 3 6 . 0 = d m m 8 - 9 在 杨 氏 干 涉 实 验 中 ， 若 双 缝 间 距 为 0 . 4 0 m m ， 在 距 双 缝 1 0 0 c m 的 光 屏 上 出 现 干 涉 条 纹 。 现 测得 相邻 两条 明纹 中心 的间 距为 1 . 5 m m ， 求入 射光 的波 长。 解 ： 根 据 D x d = 有 6 0 0 = n m 8 - 1 0 杨 氏双 逢实 验中 d = 0 . 5 m m ， 屏 幕与 缝相 距 2 5 c m 。 已 知光 源是 由波 长 4 0 0 n m 和 6 0 0n m 的 两 种 单 色 光 组 成 。 求 距 中 央 明 条 纹 多 远 处 ， 两 种 光 源 的 明 条 纹 第 一 次 重 叠 ? 各 为 第 几 级 ? 解 ： 根 据 d k D x = 有 2 , 3 = = k k ， 06 . 0 = = d k D x m 8 - 1 1 双 缝 干 涉 实 验 中 ， 用 波 长 为 6 0 0 n m 的 平 行 单 色 光 垂 直 入 射 到 双 缝 上 ， 屏 到 双 缝 的 距 离 为 1 . 0 0 m 。 测 得中 央明 纹两 侧的 两条 第 3 级 明纹 中心 的间 距为 2 3 . 0 0 1 0 m 。 求 双缝 的间 距 。 解 ： c m c m x 5 . 0 6 / 3 = = 根 据 D x d = 有 1 2 . 0 = d m m 8 - 1 2 白 光垂 直照 射到 空气 中一 厚度 为 7 3 . 8 1 0 m 的 肥皂 膜上 ，设 肥皂 膜的 折射 率为 1.33 ， 则 反射 干涉 加强 的光 的波 长为 多少 ？ 解 由 于肥 皂膜 上下 为空 气， 反射 光干 涉的 光程 差有 半波 损失 ，明 纹条 件为 k ne = + = 2 2 因 此， 反射 干涉 加强 的光 的波 长为 ) 1 2 ( 10 216 . 20 ) 1 2 ( 10 8 . 3 33 . 1 4 ) 1 2 ( 4 7 7 = = = k k k ne 由 于可 见光 的范 围为 7 7 1 0 5 . 7 1 0 4 m ， 则反 射干 涉加 强的 波长 为 m 7 1 10 043 . 4 = ， ) 3 ( = k m 7 2 10 739 . 6 = ， ) 2 ( = k 8 - 1 3 放 在 空 气 中 的 一 劈 尖 ， 其 折 射 率 为 1 . 4 ， 尖 角 为 4 5 1 0 r a d ， 在 某 一 单 色 光 的 垂 直 照 射 下 ，可 测得 两条 相邻 明纹 的间 距为 0 . 0 5 c m ， 试求 ： （ 1 ） 此单 色光 在空 气中 的波 长； （2 ） 如果 劈尖 长为 2 . 5 c m ， 总共 可出 现多 少条 明纹 。 解 （ 1 ） 劈尖 反射 干涉 相邻 明纹 间距 为 n n l 2 s i n 2 = 此 单色 光在 空气 中的 波长 为 m l n 7 2 4 10 0 . 7 10 05 . 0 10 5 4 . 1 2 2 = = = ( 2 ) 设 入射 单色 光的 相干 长度 大于 劈尖 最厚 处的 厚度 d ， 在厚 度 d 处 产生 第 k 级 干涉 明纹 ， 有 k nd = + 2 2 100 10 7 10 5 10 5 . 2 4 . 1 4 4 4 1 2 7 4 2 = = = = nl nd k得 5 . 5 0 = k 故 能看 到 5 0 条 明纹 。 8 - 1 4 利 用 等 厚 干 涉 可 以 测 量 微 小 的 角 度 。 折 射 率 n = 1 . 4 的 劈 尖 形 介 质 ， 用 = 7 0 0 n m 的 单 色 光 垂直 照射 ，测 得两 相邻 明条 纹间 距 l = 0 . 2 5 c m 。 求劈 尖角 。 解 ：根 据 / ( 2 ) . l n = 有 0 0 0 4 . 0 = r a d 8 - 1 5 用 波长 为 593.6 n m 的 光做 牛顿 环实 验 ， 测 得某 一明 环半 径为 3 1 0 0 . 1 m ， 其 外第 四个 明 环的 半径 为 3 1 0 0 . 3 m ， 求试 验中 所用 的平 凸透 镜的 凸面 曲率 半径 。 解 牛 顿环 明纹 处半 径与 波长 的关 系为 R k r k ) 2 1 ( 2 = 因 此 R k r k ) 2 1 4 ( 2 4 + = + R r r k k 4 2 4 2 4 = + 透 镜的 曲率 半径 为 m r r R k k 37 . 3 4 2 4 2 4 = = + 8 - 1 6 牛 顿 环 装 置 中 透 镜 与 平 板 玻 璃 之 间 充 以 某 种 液 体 时 ， 观 察 到 第 八 级 暗 环 的 直 径 为 1 . 2 7 c m ， 当把 这种 液体 抽走 后， 此暗 环的 直径 变为 1 . 4 5 c m ， 求该 液体 的折 射率 。 解 ： 根 据 n k R r / = 有 3 . 1 = n 8 - 1 7 在 白光 照射 单缝 产生 的夫 琅禾 费衍 射公 式中 ，某 一波 长为 0 的 光波 的第 三级 明条 纹与 红 光（ 7 6 1 0 m = ） 的第 二级 明条 纹相 重合 ，则 0 为 多少 ？ 解 ： 根 据 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 0 + = + k k 有 7 0 10 286 . 4 = m 8 - 1 8 在 夫琅 禾费 单缝 衍射 中 , 已 知缝 宽 1 . 0 1 0 - 4 m ， 透 镜焦 距为 0 . 5 m 现 用 7 6 0 n m 的 单色 平 行 光 垂 直 照 射 。 求 ( 1 ) 中 央 明 纹 的 角 宽 度 和 线 宽 度 ； ( 1 ) 一 般 明 纹 的 角 宽 度 和 线 宽 度 ； （ 3 ） 第 三级 明纹 距中 央明 纹的 距离 ； （ 4 ） 最多 能看 到第 几级 明纹 。 解 ： （1 ）中 央明 纹 角 宽度 为 0 2 a = = r ad 2 10 52 . 1 线 宽度 为 0 2 f x a = = 3 10 6 . 7 m （ 2 ） 一 般明 纹的 角宽 度 a = = 3 10 6 . 7 r a d 线 宽度 为 f x a = = 3 10 8 . 3 m （ 3 ） 2 10 14 . 1 3 = = x x m （ 4 ） 1 . 131 2 1 m a x = = a k 最 多能 看到 第 1 3 1 级 明纹 （ 5 ） 8 - 1 9 波 长 为 5 0 0 n m 的 单 色 光 垂 直 照 射 到 宽 度 为 0 . 2 5 m m 的 单 缝 上 ， 单 缝 后 放 置 一 凸 透 镜 。 在 凸透 镜的 焦平 面上 放置 一屏 幕 ， 用 以观 测衍 射条 纹 ， 今 测得 屏幕 上中 央条 纹两 侧的 两条 第 5 级 暗纹 中心 的间 距为 1 2 m m ， 求凸 透镜 的焦 距。 解 ： 1 = x m m . 根 据 f x a = 有 5 = f m . 8 - 2 0 试 指出 当衍 射光 栅常 数和 缝宽 之间 有下 列关 系时 ，哪 些级 数的 主极 大消 失： （ 1 ） 光 栅常 数 d 为 缝宽 a 的 两倍 ，即 2 d a = ； （2 ） 2 . 5 d a = ； （3 ） 3 d a = 。 解 （ 1 ） 缺级 条件 为 = = k a k d s i n s i n 故 缺级 为 k k a b a k = + = 2 ， , 3 , 2 , 1 = k k 为 偶数 （ k = 0 除 外 ） 。 （ 2 ） 缺级 为 k k a b a k = + = 5 . 2 ， , 6 , 4 , 2 = k k 为 5 , 1 0 , 1 5 , . . . . ( 3 ) 缺 级为 k k a b a k = + = 3 ， , 3 , 2 , 1 = k k 为 3 ， 6 ， 9 ， 。 8 - 2 1 已 知单 缝宽 度 4 1 . 0 1 0 b m = ， 透 镜焦 距 0.50 f m = ， 用 1 400 nm = 和 2 760 nm = 的 单色 平行 光分 别垂 直照 射 ， 求 这两 种光 的第 一级 明纹 离屏 中心 的距 离 ， 以 及这 两条 明纹 之间 的距 离。 若用 每厘 米刻 有 1 0 0 0 条 刻线 的光 栅代 替这 个单 缝， 则这 两种 单色 光的 第一 级明 纹 分别 距屏 中心 多远 ？这 两条 明纹 之间 的距 离又 是多 少？ 解 ： m m x m m b f x m m b f x 8 . 1 , 8 . 3 , 2 2 2 1 1 = = = = = m d 5 10 1000 / 1 = = 根 据 s i n , 0 , 1 , 2 , , d k k = = = 以 及 f x / = 有 m m x m m d f x m m d f x 18 , 38 , 20 2 2 1 1 = = = = = 8 - 2 2 用 白光 垂直 照射 到每 厘米 刻有 5 0 0 0 条 缝的 光栅 上， 求： （ 1 ） 第 二级 光谱 的张 角（ 2 ） 能看 到几 级完 整光 谱。 解 ： （ 1 ） 6 10 2 5000 / 1 = = d m 白 光 波 长范 围 m m 7 7 10 5 . 7 10 4 根 据 s i n , 0 , 1 , 2 , , d k k = = = 有 r ad d 4 . 0 2 s i n 2 2 = = ， r ad d 75 . 0 2 s i n 2 2 = = 故 第 二级 同 级 光 谱的 张角 为 0 . 3 5 r a d （ 2 ） 同 级 光 谱 中 ，红 光离 中央 主极 大最 远。 6 . 2 90 s i n m a x = = d k 能 看到 两 级 完整 光谱 8 - 2 3 一 束 单 色 光 垂 直 入 射 在 光 栅 上 ， 衍 射 光 谱 共 出 现 5 条 明 纹 。 若 已 知 此 光 栅 每 缝 的 宽 度 与 不透 光部 分的 宽度 相等 ，求 这几 条明 纹的 级次 。 解 ： 缺 级为 , 1 , 2 , . d k k k a = = ， 2 / = a d ，衍 射条 纹的 缺级 为 2 , 4 , . k = 明 纹的 级次 为 3 , 1 , 0 . 8 - 2 4 波 长 为 5 0 0 n m 的 单 色 光 垂 直 入 射 到 一 光 栅 上 ， 测 得 第 三 级 主 极 大 的 衍 射 角 为 3 0 ， 且 第 二级 是缺 级 。 求 ： ( 1 ) 光 栅常 数 d ; ( 2 ) 透 光缝 的最 小宽 度 a ； ( 3 ) 在 选定 上述 d 和 a 之 后 ， 求 在衍 射角 / 2 / 2 < < 范 围内 可能 观察 到的 全部 主极 大的 级次 。 解 ： ( 1 ) 根 据 s i n , 0 , 1 , 2 , , d k k = = = 有 m d 3 30 s i n / 3 = = ( 2 ) m a a d 5 . 1 , 2 / = = ( 3 ) 6 90 s i n m a x = = d k , 缺 级 为 6 , 4 , 2 ， 在 衍 射 角 / 2 / 2 < < 范 围 内 可 能观 察到 的全 部主 极大 的级 次 为 . 5 , 3 , 1 , 0 8 - 2 5 在 迎 面 驶 来 的 汽 车 上 ， 两 盏 前 灯 相 距 1 2 0 c m ， 设 夜 间 人 眼 瞳 孔 直 径 为 5 . 0 m m ， 入 射 光波 为 5 5 0 n m 。 求人 在离 汽车 多远 的地 方， 眼睛 恰能 分辨 这两 盏灯 ？ 解： 8 - 2 6 一 个油 侵显 微镜 恰能 分辨 每厘 米中 有 4 4 1 0 条 的一 组线 条， 光源 的波 长为 4 5 0 n m ， 问 显 微镜 的数 值孔 径为 多少 ？ 解 ： 最 小分 辨距 离 m z 7 4 10 5 . 2 ) 10 4 / ( 1 = = 根 据 0.61 , s i n z n = s i n n 098 . 1 = 8 - 2 7 三 个偏 振片 1 P 、 2 P 与 3 P 堆 叠在 一起 ， 1 P 与 3 P 的 偏振 化方 向相 互垂 直 ， 2 P 与 1 P 的 偏振 化 方向 间的 夹角 为 4 5 ， 强度 为 0 I 的 自然 光入 射于 偏振 片 1 P ， 并依 次透 过偏 振片 1 P 、 2 P 与 3 P ， 则通 过三 个偏 振片 后的 光强 为多 少？ 解 ： 根据 2 0 c os , I I = 有 = I 0 8 I 8 - 2 8 一 束 光 通 过 两 个 偏 振 化 方 向 平 行 的 偏 振 片 ， 透 过 光 的 强 度 为 1 I ， 当 一 个 偏 振 片 慢 慢 转 过 角 时， 透过 光的 强度 为 1 3 / 4 I ， 求 角 。 解 两 个偏 振化 方向 平行 时， 最后 透过 光的 强度 为 1 I 即 为透 出第 一个 偏振 片后 的强 度 ； 两 个偏 振化 方向 有夹 角时 ，由 马吕 斯公 式有 2 1 1 c o s 4 3 I I = 因 此 0 3 0 = 。 8 - 2 9 一 束自 然光 和线 偏振 光的 混合 光 ， 垂 直通 过一 偏振 片 。 当 偏振 片以 光线 为轴 旋转 一周 时 , 发 现其 最大 光强 为最 小光 强的 4 倍 。求 入射 光中 两种 光线 光强 的比 值。 解 ： 设 入 射光 中自 然光 和线 偏振 光光 强 分 别为 2 1 , I I r a d 1 0 1 . 1 2 2 . 1 4 0 = = D m m l d 1 3 2 . 0 1 0 1 . 1 c m 1 2 0 4 0 = = = 则 4 2 / 2 / 1 2 1 = + I I I ， 即 3 / 2 / 2 1 = I I 8 - 3 0 自 然 光 以 6 0 的 入 射 角 照 射 到 不 知 其 折 射 率 的 某 一 透 明 介 质 表 面 时 ， 反 射 光 为 线 偏 振 光 。求 ： ( 1 ) 折 射角 的大 小； ( 2 ) 作 图表 示反 射光 和折 射光 的振 动状 况及 偏振 程度 。 解 ： 根据 0 0 2 r i + = ， 有 折 射角 的大 小 为 0 3 0 8 - 3 1 自 然 光 从 空 气 射 到 折 射 率 为 3 的 玻 璃 上 ， 欲 使 反 射 光 成 为 偏 振 光 ， 则 起 偏 角 应 为 多 少 ？ 解 ： 根 据 有 起 偏角 应为 60 8 - 3 2 设 水 晶 对 波 长 为 5 5.1 10 m 的 光 波 的 旋 光 系 数 为 29.7 / m m ， 求 能 使 振 动 面 旋 转 180 的 水 晶片 的厚 度。 解 ： 根据 , l = 有 m m l 0 6 . 6 = 2 0 1 t a n , n i n =