数理统计课后答案-第五章.pdf

1 习题五 5.1 试证明一元线性回归模型中参数 01 和 的最小二乘估计就是参数的极大似然估计. 证明 因 =+ + 01 , iii yx ( ) 2 0,N ，故 i y ( ) + 2 01 , i Nx。 似然函数为 ()() () + = = = 2 01 2 2 2 01 11 1 , 2 ii yx nn i ii LPye 其中 () i Py 为 i y 的密度函数。 () () 2 012 01 2 1 1 ln , , ln 2 2 n ii i yx L = = ( ) () () () = = = = = = = 2 01 0 1 2 01 01 1 2 2 01 01 1 2 ln , , 0 ln , , 0 1 2 ln , , 0 xy xx n ii i L L L L yx yx L n 即 01 , 的极大似然估计与最小二乘估计相同。 5.2 试证明变元 () ,xy的一组观测值的样本相关系数就是把 ( ) ,xy视为二维随机变量时， 随机变量 x 和 y 相关系数的矩法估计. 证明 二维随机变量 ( ) ,xy的相关系数为 ( ) () () = 22 22 cov ,xy Exy ExEy r Dx Dy Ex Ex Ey Ey 但因 ( ) ,xy的分布未知，上述公式中 22 , ,Exy Ex Ey Ex Ey 均不可求。但根据大数定理， 可用样本矩来估计总体矩，于是： 2 r () () ()() = 22 22 11 11 ii i i xy xx yy xx yy xy xy x x y y L nn LL xxyy LL nn 。 5.3 某种钢材的强度 y （单位：kg/mm 2 ）与它的含碳量 x（单位： %）有关，现测得数 据如下： 含碳量 i x 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 强度 i y 41.8 42.0 44.7 45.1 48.9 设有 iii xy += 10 ， i ),0( 2 N ， 5,2,1 L=i ， 521 , L 相互独立。 求： （1） 10 , 的最小二乘估计 10 , ； （2）残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r 。 解 5=n ， 12.0=x ， 004.0= xx L ， 5.44=y ， 3.33= yy L ， 346.05.4412.05046.27 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1） 5.86 004.0 346.0 1 = xx xy L L , 12.3412.05.865.44 10 = xy 。 所以，回归方程为 xxy 5.8612.34 10 +=+= 。 （2） 371.3346.05.863.33 1 = xyyye LLSS ， 060.1 25 371.3 2 = = = n SS e ， 9480.0 3.33004.0 346.0 = = yyxx xy LL L r 。 5.4 对工件表面作腐蚀刻线试验， 测得蚀刻时间 x（单位： 秒） 和蚀刻深度 y（单位： m） 的数据如下： 蚀刻时间 i x 20 30 40 50 60 蚀刻深度 i y 13 16 17 20 23 3 设有 iii xy += 10 ， i ),0( 2 N ， 5,2,1 L=i ， 521 , L 相互独立。 （1）求 10 , 的最小二乘估计 10 , ； （2）求残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r ； （3）检验 0 H ： 0 1 = （显著水平 05.0= ） 。 解 5=n ， 40=x ， 1000= xx L ， 8.17=y ， 8.58= yy L ， 2408.174053800 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1） 24.0 1000 240 1 = xx xy L L , 2.824024.08.17 10 = xy 。 所以，回归方程为 xxy 24.02.8 10 +=+= 。 （2） 200.124024.08.58 1 = xyyye LLSS ， 6325.0 25 2.1 2 = = = n SS e ， 9897.0 8.581000 240 = = yyxx xy LL L r 。 （3）用 t 分布检验： xx LT 1 = 0.121000 6325.0 24.0 = 。 对 05.0= ，查 t 分布的分位数表，可得 )2( 2 1 nt 1824.3)3( 975.0 =t ，因为 1824.30.120.12 >=T ，所以拒绝 0 H ： 0 1 = ，说明自变量 x 与因变量 y 之 间有显著的统计线性相关关系。 用 F 分布检验： )2( = nSS SSL F e eyy 0.144 )25(2.1 2.18.58 = = 。 对 05.0= ，查 F 分布的分位数表，可得 1.10)3,1()2,1( 95.01 = FnF ，因 为 1.100.144 >=F ，所以结论也是拒绝 0 H ： 0 1 = 。 4 5.5 在研究钢线的含碳量 x（单位： %）与电阻 y（单位： ）的关系时，测得数据如下： 含碳量 i x 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 电阻 i y 15.0 18.0 19.0 21.0 22.6 23.8 26.0 设有 iii xy += 10 ， i ),0( 2 N ， 7,2,1 L=i ， 721 , L 相互独立。 （1）求 10 , 的最小二乘估计 10 , ； （2）求残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r ； （3）求 10 , 的置信水平为 95 的置信区间 ； （4）检验 0 H ： 0 1 = （显著水平 05.0= ） 。 解 7=n ， 5428571.0=x ， 5321429.0= xx L ， 77143.20=y ， 03429.84= yy L ， 678572.677143.205428571.0761.85 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1） 55034.12 5321429.0 678572.6 1 = xx xy L L , 95839.135428571.055034.1277143.20 10 = xy 。 所以，回归方程为 xxy 55034.1295839.13 10 +=+= 。 （2） 21594.0678572.655034.1203429.84 1 = xyyye LLSS ， 20782.0 27 21594.0 2 = = = n SS e ， 99871.0 03429.845321429.0 678572.6 = = yyxx xy LL L r 。 （3） 对 95.01 = ，查 t分布的分位数表可得 )2( 2 1 nt 5706.2)5( 975.0 =t ， xx L nt )2( 2 1 73233.0 5321429.0 20782.0 5706.2 = 。 = xx L nt )2( 2 1 1 818.1173233.055034.12 = ， 5 = xx L nt )2( 2 1 1 + 283.1373233.055034.12 =+= 。 所以 1 的水平为 95 的置信区间为 283.13,818.11 。 xx L x n nt 2 2 1 1 )2( + 44589.0 5321429.0 5428571.0 7 1 20782.05706.2 2 =+= ， = xx L x n nt 2 2 1 0 1 )2( + 513.1344589.095839.19 = ， = xx L x n nt 2 2 1 0 1 )2( + 404.1444589.095839.19 =+= 。 所以 0 的水平为 95 的置信区间为 495.8,165.7 。 （4）用 t 分布检验： xx LT 1 = 054.445321429.0 20782.0 55034.12 = 。 对 05.0= ，查 t 分布的分位数表，可得 )2( 2 1 nt 5706.2)5( 975.0 =t ，因为 5706.2054.44054.44 >=T ，所以拒绝 0 H ： 0 1 = ，说明自变量 x 与因变量 y 之间有显著的统计线性相关关系。 用 F 分布检验： )2( = nSS SSL F e eyy 8.1940 )27(21594.0 21594.003429.84 = = 。 对 05.0= ，查 F 分布的分位数表，可得 61.6)5,1()2,1( 95.01 = FnF ， 因为 61.68.1940 >=F ，所以结论也是拒绝 0 H ： 0 1 = 。 5.6 在一系列不同温度 x （单位： C）下，观测硝酸钠在 100ml 水中溶解的重量 y （单 位：g） ，得数据如下： 温度 i x 0 4 10 15 21 29 36 51 68 重量 i y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1 设有 iii xy += 10 ， i ),0( 2 N ， 9,2,1 L=i ， 921 , L 相互独立。 （1）求 10 , 的最小二乘估计 10 , ； 6 （2）残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，样本相关系数 r ； （3）检验 0 H ： 0 1 = （显著水平 05.0= ） 。 解 9=n ， 26=x ， 4060= xx L ， 1444.90=y ， 98.3083= yy L ， 8.35341444.902696.24628 1 = = yxnyxL n i iixy 。 （1） 870640.0 4060 8.3534 1 = xx xy L L , 5078.6726870640.01444.90 10 = xy 。 所以，回归方程为 xxy 870640.05078.67 10 +=+= 。 （2） 4426.68.3534870640.098.3083 1 = xyyye LLSS ， 95936.0 29 4426.6 2 = = = n SS e ， 99895.0 98.30834060 8.3534 = = yyxx xy LL L r 。 （3）用 t 分布检验： xx LT 1 = 826.574060 95936.0 870640.0 = 。 对 05.0= ，查 t 分布的分位数表，可得 )2( 2 1 nt 3646.2)7( 975.0 =t ，因为 3646.2826.57826.57 >=T ，所以拒绝 0 H ： 0 1 = ，说明自变量 x 与因变量 y 之间有显著的统计线性相关关系。 用 F 分布检验： )2( = nSS SSL F e eyy 8.3343 )29(4426.6 4426.698.3083 = = 。 对 05.0= ，查 F 分布的分位数表，可得 59.5)7,1()2,1( 95.01 = FnF ， 因为 59.58.3343 >=F ，所以结论也是拒绝 0 H ： 0 1 = 。 7 5.7 设 iii xy += 10 ， i ),0( 2 N ， ni ,2,1 L= ， n , 21 L 相互独 立， 10 , 是 10 , 的最小二乘估计。证明： 0) , (Cov 10 = 的充分必要条件是 0 1 1 = = n i i x n x 。 证 因为 xyxy ) , (Cov) ,(Cov) , (Cov) , (Cov 1111110 = x L xD xx 2 1 ) (0 = 。 （其中用到 定理 5.2 0) ,(Cov 1 =y 和 定理 5.1 xx L D 2 1 ) ( = ） 所以，当 0=x 时，有 ) , (Cov 10 0 2 = x L xx ； 反过来，由于 0> ，所以当 ) , (Cov 10 0 2 = x L xx 时，必有 0=x 。 5.8 具有重复试验的一元线性回归是指自变量 x 的每个不同取值 i xx= 都对因变量 y 作 i m 次重复观测，记观测值为 12 , ,.,y , i ii im yy 设 x 有 r 个观测值 12 ,., r xx x而 1 , r i i mn = = 于是重复试验的一元线性回归模型可表示为 , ij i ij yx =+ + 其中 =i 1,2,., ; 1,2,.,m ; iij rj ( ) 2 0, ,N 试求 和 的最小二乘估计. 解 = = += 144244314424431442443 12 1122 1 . x . x . . x r r rri i mm m xx x x mx nn = = = 22 11 1 11 , i i rr ij i i i ij ij i ij yyxmxyxy nnn 于是： () = = = 2 2 1 ; 1 xy xy xx xx L L xy xy n yx L xx L n 。 8 5.9 设 iiii xxy += )23( 2 210 ， i ),0( 2 N ， 3,2,1=i ， 321 , 相 互独立， 1 1 =x ， 0 2 =x ， 1 3 =x 。 （1）写出矩阵 X ， XX T 和 1 )( XX T ； （2）求 210 , 的最小二乘估计； （3）证明 0 2 = 时， 10 , 的最小二乘估计与 0 2 时的最小二乘估计相同。 解 （1） = 111 201 111 X ， = 600 020 003 XX T ， = 6100 0210 0031 )( 1 XX T 。 （2） 2 1 0 = YXXX TT 1 )( = = 3 1 1 121 101 111 6100 0210 0031 y y y + + + = 6 2 2 3 321 31 321 yyy yy yyy 。 即有 3 321 0 yyy + = ， 2 31 1 yy + = ， 6 2 321 2 yyy + = 。 （3） （证法一） 0 2 = 时，模型成为 iii xy += 10 ， i ),0( 2 N ， 3,2,1=i ， = 11 01 11 X ， = 20 03 XX T ， = 210 031 )( 1 XX T ， 1 0 YXXX TT 1 )( = = 3 2 1 101 111 210 031 y y y + + = 2 3 31 321 yy yyy ， 即有 3 321 0 yyy + = ， 2 31 1 yy + = ， 10 , 的最小二乘估计与 0 2 时的最小二乘估计相同。 9 （证法二） 0 2 = 时，模型成为 iii xy += 10 ， i ),0( 2 N ， 3,2,1=i ， 按照一元线性回归的计算公式，有 0 3 101 = + =x ， 2)01()00()01( 222 =+= xx L ， 3 321 yyy y + = ， yxnyxL i iixy = = 3 1 31321 10)1( yyyyy +=+= ， xx xy L L = 1 2 31 yy + = ， 3 321 10 yyy yxy + = 。 10 , 的最小二乘估计与 0 2 时的最小二乘估计相同。 5.10 为了考察某种植物的生长量 y （单位：mm）与生长期的日照时间 1 x （单位：小时） 以及气温 2 x （单位： C）的关系，测得数据如下： 日照时间 i x 1 269 281 262 275 278 282 268 259 275 255 气 温 i x 2 30.1 28.7 29.0 26.8 26.8 30.7 22.9 26.0 27.3 30.3 生长量 i y 122 131 116 111 117 137 111 108 119 108 日照时间 i x 1 272 273 274 273 284 262 285 278 272 279 气 温 i x 2 26.5 29.8 28.3 24.4 30.1 24.9 25.6 24.9 24.8 30.7 生长量 i y 125 132 136 128 138 76 130 127 123 133 设 iiii xxy += 22110 ， i ),0( 2 N ， 20,2,1 L=i ， 2021 , L 相互独立。 求： （1） 210 , 的最小二乘估计 210 , , ； （2）残差平方和 e SS ，估计的标准差 ，多重相关系数 r ； （3）检验 0 H ： 0 21 = （显著水平 05.0= ） ； （4）分别检验 01 H ： 0 1 = 和 02 H ： 0 2 = （显著水平 05.0= ） 。 解 利用可作多元线性回归的计算机软件，求得： 10 （1） 867.247 0 = ， 15423.1 1 = ， 98298.1 2 = ，所以，回归方程为 2122110 98298.115423.1867.247 xxxxy +=+= 。 （2）残差平方和 59.1542= e SS ，估计的标准差 5258.9 = ，多重相关系数 77921.0=r 。 （3）检验 0 H ： 0 21 = 的统计量 14.13=F ，对 05.0= ，查 F 分布表， 可得分位数 59.3)17,2()1,( 95.01 = FmnmF ，因为 59.314.13 >=F ，所以拒 绝 0 H ： 0 21 = ，说明自变量 21 , xx 与因变量 y 之间有显著的统计线性相关关 系。 （4）检验 01 H ： 0 1 = 的统计量 96.18 1 =F ，对 05.0= ，查 F 分布表，可 得分位数 45.4)17,1()1,1( 95.01 = FmnF ，因为 45.496.18 1 >=F ，所以拒绝 01 H ： 0 1 = ，说明自变量 1 x 与因变量 y 统计线性相关 ； 检验 02 H ： 0 2 = 的统计量 74.4 2 =F ，对 05.0= ，查 F 分布表，可得分 位数 45.4)17,1()1,1( 95.01 = FmnF ，因为 45.474.4 2 >=F ，所以拒绝 02 H ： 0 2 = ，说明自变量 2 x 也与因变量 y 统计线性相关 。 5.11 多元线性回归模型中，若先根据变量 ( ) 和1,2., i yxi m= 的观测值 () 12, , ,., T n yy y 和 () 12 , ,., T ii ni xx x 对变量“标准化”,即令 () = = * 1,2,., ; ; ii i ii yy yy xx yy yy ximyy LLL ，其中 () () = = = 2 111 1 ; nnn ii ki i i ki yy i kkk Lxxx xLyy n . 此时再求 * y 关于 = L * (1,2,) i xi m的回归称为标准回归. （1）证明标准回归方程的常数项为零，即 * 1 m ii i ydx = = （2）证明标准回归的总离差平方和 T SS () = = = 2 * 1 1. n i i yy 11 证明 （1）设 y 关于 12 , ,., m xx x的线性回归方程为 =+ + 1 . 01 m xx m y 于是有 + + = 1 . 01 m yy yy xxy y m LL y 即 ( ) ( ) + = + =+ =+ + + * 1111 1 * 11 1 * 11 + . + * 01 . 01 . 1 0 . mmmm yy m mm m yy yy yy mm xLx xLx y m y L xxy LL m xx m L dx dx 注：上式用到 =+ + 1 . 01 m yxx m 此外，从上式还可得 =, 1,2,., ii i yy L dim i L （2） T SS ( ) () = = 2 2 2 * * 111 0 nnn i ii i yy yy yy y L () = = 2 1 1 1 n yy i i yy yy L yy LL 。 5.12 在不同的温度 x（单位： C）下，观察平均每只红铃虫的产卵数 y （单位：个） ，得 到数据如下： 温度 i x 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 i y 7 11 21 24 66 115 325 设产卵数 y 与温度 x之间，近似有下列关系： x y e= , 12 求常系数 , 的估计值。 解 回归方程为 x y e = ，对方程两边同时取对数，得到 xy lnln += ， 令 yy ln* = ， ln 0 = ，它就化成了一个一元线性回归方程 xy * 0 += 。 求得 , 0 的估计 , 0 后， 的估计，可以通过 0 e = 求得。 作为广义线性回归求解，在不加权的情况下，用计算机软件解得： 849175.3 0 = ， 272026.0 = ， 66.1537= e SS ， 0212973.0e 0 = ； 作为广义线性回归求解，在加权的情况下，用计算机软件解得： 0100311.0 = ， 296470.0 = ， 640.506= e SS ； 作为非线性回归求解，用计算机软件解得： 00695936.0 = ， 306934.0 = ， 047.472= e SS 。 5.13 某零件上有一条曲线，可以近似看作是一条抛物线 2 210 xxy += 。为了在 数控机床上加工这一零件，在曲线上测得 11 个点的坐标 ),( ii yx 数据如下： i x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 i y 0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7 求这条抛物线的函数表达式。 解 回归方程为 2 210 xxy += 。 令 xx = 1 ， 2 2 xx = ，原来的回归方程化成了下列形式： 22110 xxy += 。 利用可作多元线性回归的计算机软件，求得： 01049.1 0 = ， 197110.0 1 = ， 140326.0 2 = ， 23134.1= e SS 。 13 5.14 猪的毛重 W （单位：kg）与它的身长 L（单位：cm） ，肚围 R（单位：cm）之间， 近似有下列关系： 21 RLW = ， 其中， 21 , 都是常系数。现在对 14 头猪，测得它们的身长、肚围和毛重数据如下： 身长 i L 41 45 51 52 59 62 69 72 78 80 90 92 98 103 肚围 i R 49 58 62 71 62 74 71 74 79 84 85 94 91 95 毛重 i W 28 39 41 44 43 50 51 57 63 66 70 76 80 84 求常系数 21 , 的估计值。 解 回归方程为 21 RLW = ，对方程两边同时取对数，得到 RLW ln ln ln ln 21 += ， 令 Wy ln= ， ln 0 = ， Lx ln 1 = ， Wx ln 2 = ，它就化成了一个多元线性回归方程 22110 xxy += 。 求得 21 , 的估计 21 , 后， 的估计，可以通过 0 e = 求得。 作为广义线性回归求解，在不加权的情况下，用计算机软件解得： 157551.0 = ， 526691.0 1 = ， 840853.0 2 = ， 1720.33= e SS ； 作为广义线性回归求解，在加权的情况下，用计算机软件解得： 196052.0 = ， 609360.0 1 = ， 709291.0 2 = ， 4119.31= e SS ； 作为非线性回归求解，用计算机软件解得： 189740.0 = ， 611679.0 1 = ， 714209.0 2 = ， 2833.31= e SS 。 5.15 热敏电阻器的电阻 y （单位：）与温度 x（单位： C）之间，近似有下列关系： + = x y exp ， 14 其中， , 都是常系数。现对 16 个热敏电阻器，测得温度 x和电阻 y 的数据如下： 温度 i x 50 55 60 65 70 75 80 85 电阻 i y 34780 28610 23650 19630 16370 13720 11540 9744 温度 i x 90 95 100 105 110 115 120 125 电阻 i y 8266 7030 6005 5147 4427 3820 3307 2872 求常系数 , 的估计值。 解 利用可作非线性回归的计算机软件，求得： 00561861.0 = ， 32.6180 = ， 199.345 = ， 694.100= e SS 。 5.16 对某种蔬菜的生长期 x （单位：日）和平均每株蔬菜的质量 y （单位：g）进行观 测，得到一组数据如下： 生长期 i x 9 14 21 28 42 57 63 70 79 重量 i y 8.93 10.80 18.59 22.33 39.35 56.11 61.73 64.62 67.08 设生长期 x 与平均每株蔬菜的质量 y 之间，近似有下列关系： x y + = e1 ， 求常系数 , 的估计值。 解 利用可作非线性回归的计算机软件，求得： 4622.72 = ， 7093.13 = ， 0673592.0 = ， 05652.8= e SS 。