用高斯定理求解有电介质时的电场强度

用高斯定理求解有电介质时的电场强度物理与电信工程学院10级课程与教学论张雅琪2010021539在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变,反过来又会影响极化情况。如此相互影响，最终达到平衡。在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E，必须同时知道自由电荷及极化电荷出 P - dS的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P【P '，b '二(P - P) e】,AV21 nP又取决于E( P = 5)，这就似乎形成计算上的循环。高斯定理通过列出有 0关E、P、p '、b'的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D以消去p '和b'，方便求解。当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理D dS = qS如图1所示，假设有一厚度为b的无限大均匀介质平板中eer1r 2有体密度为p的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为 0e ，两侧分别充满相对介电常数为e和e的均匀介质.要求板rr1r 2内外的电场强度E，首先分析介质平板中激发电场的电荷分 布，因介质板内有自由电荷P，在自由电荷处对应的极化电荷密度为0OM图2总电荷体密度为P = p + p' = oo er因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于e ze，故在两界面上的极化电荷面密度r1r 2L hL .在板内存在一个电场强度E二0的平面OO'，不妨称它为零电场面.此面12的电位移矢量D二0，如图2.以OO'面为基面，向两侧作底面积为S，垂直OO'面伸 出平板外的柱体，柱体的表面为高斯面,根据对称性,E与D的方向垂直介质板的 表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为P Sb和p Sb .根据介质中高斯定理，求得介质板两侧的电位移矢量为0 1 0 2D = p be ,D = p be1 01n 2 0 2 npbe88 n0 r 2两侧的电场强度为P bE = e , E 二18 8 n 20 r 1单位矢e的方向为背向介质板表面，如图2所示，介质板两侧的电场的大小相等, n即E = |E|.因而bb二一2-88r1 r 2因b = b + b，求得零电场面的位置128 b8 bb 二r1, b 二r21 8+8 1 8+8r1r2r1r2用i表示方向向右的单位矢，则板外两侧介质的电场为P b.E = ±oi8 (8 + 8 )0 r1r 2同理，以零电场面为基面在板内作底面积为S、长为x的高斯面，求得介质板 内电位移矢量为D = p xi内0板内的电场强度为E亠i内 8 80r式中x为板内场点的坐标.