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第二章关键词：随机变量分布函数离散型随机变量分布列连续型随机变量密度函数数学期望方差常见分布随机变量函数的分布,第三章多维随机变量及其分布,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,(重点讨论二维随机变量),本章内容是第二章内容的推广,本章主要内容：以身高X、体重Y为例P(1.65<X1.7,50<Y65)=?联合分布P(1.65<X1.7)=?边际分布已知X=1.65，求Y的分布条件分布X和Y之间的关系：是否独立是否有线性关系协方差与相关系数随机向量函数的分布,关注的问题：一维与多维随机变量的“共性”多维随机变量的“特性”,3.1多维随机向量及其联合分布,一、多维随机变量的概念,定义1设是随机试验E的样本空间，是定义在上的n个随机变量。将其构成一个n维有序数组称X为n维随机变量(或称随机向量)，Xi称为X的第i个分量。,n维随机向量的联合分布函数,定义称n元函数,为随机向量X=(X1,X2,Xn)的联合概率分布函数(jointdistributionfunction)，简称为分布函数或联合分布。,二、二维随机向量及其分布函数,二维随机变量（X,Y）的联合分布函数,1、联合分布函数的几何意义,如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.,(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示,(X,Y)的取值落入图所示的区域中的概率.,2、联合分布函数的性质,(1)(单调性)对每个变量单调不减,(x,y),F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),(3)(右连续性)对每个变量是右连续的,注：这一性质是多维随机向量所特有的。,(4)(非负性)对于任意a<b,c<d,反例,设,讨论F(x,y)能否成为二维随机向量的分布函数？,解,x+y=1,故F(x,y)不能作为某二维随机向量的分布函数.,三、二维离散型r.v.及其联合分布列,若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值(数对)为有限多个或无穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型r.v.。,1、联合分布列定义与性质,定义设(X,Y)的所有可能的取值为,则称,为二维r.v.(X,Y)的联合分布列.,x1xi,X,Y,(X,Y)的联合分布列,y1,yj,1,性质,例设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的分布律。,解可能取值为,由乘法公式，得：,四、二维连续型r.v.及其联合分布密度,1、定义设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数p(x,y),使得对于任意实数x,y有,则称(X,Y)为二维连续型r.v.p(x,y)为(X,Y)的联合密度函数.,2、联合密度的性质,注1:,在的连续点处,(1)非负性,(2)正则性,注2:,若G是平面上可度量的区域，则,注记,P(X=a,-<Y<+)=0,P(-<XY).,解,解,例教材144页习题3.1第7题（4）问,解：当x<0或y<0时，,当0x<1且0y<1时，,当0x<1且y1时，,当x1且00；则由密度函数,给出的分布称为G上的均匀分布。,则GD,设G的面积为SG,注若(X,Y)服从区域D上的均匀分布,即(X,Y)落在D中某一子区域G内的概率与G的面积成正比而与G的位置和形状无关.,例设(X,Y)G上的均匀分布,p(x,y);P(Y>X2)。,求,解(1),(2),若二维随机变量(X,Y)的联合密度为,则称(X,Y)服从参数为1,1,2,2,的正态分布,记作(X,Y)N(1,12;2,22;)。,其中1,2>0,-1<<1.,二元正态分布,注：参数刻画了X和Y之间的一种关系。,二维正态分布图,二维正态分布剖面图,正定二次型,其中,引入,则,多元正态分布,给出的分布称为n元正态分布，简记为N(a,B)。,若B(bij)是n阶正定对称矩阵，以表示B的逆阵；detB表示B的行列式的值。a=(a1,an)是任意实值行向量，则由密度函数,作业,习题3.13、4、9、10,